Коды Вайнера-Эша: кодирование, декодирование

Класс двоичных сверточных кодов, исправляющих одну ошибку и на-зываемых кодами Вайнера-Эша, аналогичен классу кодов Хэмминга. Для ка-ждого положительного целого m существует - код Вайнера-Эша. Такой код определяется проверочной матрицей

- кода Хэмминга. Это проверочная - матрица, в которой все (2^m - 1) − столбцов различны и ненулевые. Выберем такую матрицу, используем ее строки для определения множества

и обозначим через P₀^T вектор-строку, все

2^m −1 элементов которой равны единице. Тогда проверочная матрица кода Вайнера-Эйша запишется в виде:

Минимальное расстояние d* кода Вайнера-Эша равно 3; таким образом, он является сверточным кодом, исправляющим одну ошибку. Например, (12,9) -код Вайнера-Эша соответствует 2m =. Его проверочная матрица равна H и при таком усечении кода, чтобы его проверочная матрица соответствовала длине блока 12, получается проверочная матрица H⁽¹²⁾:

Порождающая матрица (12,9) -кода Вайнера-Эша равна

а проверочная матрица кода, усеченного до длины блока 12, представляется в виде

Непосредственным рассмотрением G⁽¹²⁾ убеждаемся, что в пределах блока длины 12 каждое ненулевое слово имеет вес не менее трех. Следовательно, в блоке 12 код может исправлять одну ошибку.

Кодер для (12,9) -кода Вайнера-Эша представлен на рис.7.7. Каждому порождающему многочлену на схеме соответствует отдельно КИХ-фильтр. Большинство известных наиболее употребительных сверточных кодов было получено с помощью ЭВМ.

Рис. 7.7. Кодер (12, 9)-кода Вайнера-Эша