Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и в форме Коши

Теорема 2. Пусть функция и все ее производные до порядка включительно являются непрерывными функциями на отрезке с концами в точках и , а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная . Тогда, для любой непрерывной на этом отрезке функции , дифференцируемой во внутренних точках этого отрезка и имеющей в каждой из этих точек отличную от нуля производную, существует такая точка , лежащая между точками и , что остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в виде . (1)

Д о к а з а т е л ь с т в о. На отрезке с концами в точках и рассмотрим функцию переменной : , где .

Из условий теоремы следует, что на отрезке функция обладает теми же свойствами, что и функция . Точнее, на отрезке функции и удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о среднем значении для дифференцируемых функций.

По этой теореме между точками и найдется такая точка , что (2)

Поскольку , (3) то нетрудно видеть, что . (4)

К тому же, как следует из (3), (5) и (6) Из формул (2), (4) – (6) имеем: . В свою очередь отсюда, с учетом того, что по условию теоремы ( - внутренняя точка отрезка ), получим искомое равенство (1) □

Следствие. Если на отрезке с концами в точках и функция и все ее производные до порядка включительно являются непрерывными функциями, а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная , то остаточный член в формуле Тейлора (7) может быть записан, как в форме Коши: , (8) так и в форме Лагранжа: (9) (здесь лежит между точками и , при этом является, вообще говоря, разной в формулах (8) и (9)).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Формула (8) вытекает из формулы (1), если в ней положить . В свою очередь, формула (9) вытекает из той же формулы (1), если в последней положить . Таким образом, если выполнены условия следствия из теоремы 2, то формулу Тейлора для функции можно записать как в виде (10) (формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа), так и в виде (11) (формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши)□