Формула Тейлора для многочлена

Рассмотрим некоторый многочлен степени с вещественными коэффициентами: (1). Зададим произвольное вещественное число и в правой части равенства (1) представим в виде : . Раскрыв здесь квадратные скобки и приведя подобные члены при одинаковых степенях , в результате получим разложение многочлена (1) по степеням : , (2), где - постоянные, зависящие от исходных коэффициентов и от числа .

При больших , на практике, указанный выше способ разложения многочлена по степеням весьма трудоемок. Оказывается, имеется простой способ отыскания коэффициентов разложения многочлена по степеням . Будем последовательно дифференцировать равенство (2):

................................

................................

.

Полагая в каждом из этих равенств получим

.........

.........

Если кроме того положить в (2), то считая, как обычно, и будем также иметь . Таким образом, для коэффициентов разложения (2) многочлена по степеням имеем следующие формулы , (3).

В итоге заключаем, что разложение (2) можно записать в виде: (4)

Формула (4) называется формулой Тейлора в точке для многочлена степени . Из вывода этой формулы следует, что разложение многочлена по степеням является единственным, так как коэффициенты любого такого разложения однозначно определяются по формулам (3).

Формулу Тейлора для многочлена в точке , то есть формулу называют также формулой Маклорена.