Замена переменных в тройном интеграле

Для тройного интеграла имеет место следующее правило замены переменных. Если функция непрерывна в замкнутой области V, а функции (1)имеют непрерывные частные производные в замкнутой области Т пространства UVW и взаимно однозначно отображают эту область на область V пространства XYZ, то имеет место следующая формула:

(2)

где - якобиан отображения

Подобно тому как в случае двух переменных модуль якобиана отображения равнялся коэффициенту изменения бесконечно малой площади, модуль якобиана отображения (1) равен коэффициенту изменения бесконечно малого объема при отображении (1).

Примечание. Формула (2) остается справедливой также и в том случае, если отображение области T на область V взаимно однозначно лишь для внутренних точек этих областей.

Остановимся подробнее на двух наиболее употребительных случаях замены переменных в тройных интегралах.