Масса неоднородного тела. Тройной интеграл

Тройной интеграл(ТИ) – предел последовательности интегральных сумм построенных по последовательности разбиений тела Т, в которой максимальный диметр частичного тела равен нулю.

Если U=f(x,y,z) непрерывна во всех точках тела Т и его границах, то всякая последовательность интегральных сумм имеет предел и он является одним и тем же для всех последовательностей интегральных сумм его называют тройным интегралом от функции f(x,y,z) области Т.

Пусть дано тело произвольной формы. Рассмотрим некоторую точку этой фигуры массой ∆m объемом ∆V. Средней объемной плотностью называют отношение ρ=∆m/∆V. Плотностью фигуры в данной точке называется предел отношения средней плотности при условии, что частичная площадка стягивается в точку. Масса фигуры вычисляется по формуле

31) Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах: повторный и троекратный интеграл.

Тело Т называется правильным в направлении оси OZ, если всякая прямая проходящая через любую внутреннюю точку проекции тела Т на плоскость XOY и параллельная оси Z, пересекает границу тела Т не более чем в 2 точках.

Правильное тело ограничивается снизу и сверху двумя поверхностями которые являются функциями 2 переменных.

Если тело Т является правильным в направлении оси OZ и если подынтегральная функция f(x,y,z) непрерывна в этом теле и на ее границы то ТИ по этому телу выражается через ДИ следующим образом:

где D проекция тела Т на XOY

φ1(x,y), φ2(x,y) задают верхнюю и нижнюю границы тела