Где rs радиус-вектор

Очевидно, Р_x есть сила, стремящаяся сдвинуть тело по направлению течения; ее называют гидродинамическим сопротивлением. Силы Р_у и Р _z являются поперечными силами, смещающими тело в направлениях, нормальных к вектору v ₀. Если тело обладает симметрией или является цилиндром, то, выбрав ось у в плоскости симметрии, получим, очевидно, Р _z = 0. Ограничимся в дальней­шем этими случаями, причем вектор v ₀ направим горизонтально, а ось у — вертикально вверх. Из выражения (10.2) получим

откуда следует, что поперечная сила Р_у зависит не только от нормальных, но и от касательных напряжений на поверхности тела. Последние чаще всего играют незначительную роль в опре­делении этой силы и ими пренебрегают. Если бы течение отсут­ствовало (покоящаяся жидкость), то при наличии силы тяжести воздействие жидкости на тело свелось бы (см. гл. 4) к архимедо­вой подъемной силе Р _A. С другой стороны невесомая идеальная жидкость, как известно из гл. 7, создает на обтекаемом теле подъемную силу Р _П Жуковского. Поэтому следует считать, что в общем случае

Каждую из этих составляющих можно вычислить методами, изложенными соответственно в гл. 4 и 7. Если тело обтекается неустановившимся потоком, то может возникнуть еще поперечная составляющая силы инерционного сопротивления.

Рассмотрим силу гидродинамического сопротивления Р_x. Из выражения (10.2) получим

(10.4)

Оба слагаемых в этой формуле могут быть по величине со­поставимы друг с другом. Первое из них

(10.5)

зависит, как видно, от распределения давления по поверхности тела и потому называется сопротивлением давления. Второе слагаемое R_тр = cos (t, x) dS определяется распределением

касательных напряженийи называется сопротивлениемтрения. Каждуюиз этих сил можно разложить на более частные составля­ющие. Рассмотрим вначале сопротивление давления.

При обтекании круглого цилиндра потенциальным потоком благодаря симметричному распределению давлений по поверх­ности цилиндра результирующая этих сил равна нулю (парадокс Даламбера). Следовательно, для этого случая R _д = 0. Можно доказать, что во всех случаях безотрывного обтекания цилиндри­ческих тел потенциальным потоком сопротивление давления равно нулю. Однако при отрывном обтекании, когда за телом образуется «мертвая зона» или суперкавитационная каверна (см. П. 10.2), теория потенциальных течений дает не равное нулю значение силы сопротивления давления. Так, в п. 7.12 было доказано, что при струйном обтекании пластины, поставленной нормально к потоку (см. рис. 7.30), коэффициент лобового сопро­тивления, являющегося в данном случае сопротивлением, давле­ния, равен 0,88. Это подтверждается опытом только в тех случаях, когда за обтекаемым телом действительно образуется зона, за­полненная парами или газом, в которой давление приблизительно постоянно, как это предусмотрено теорией. Но в большинстве случаев за обтекаемым телом образуется так называемый гидро­динамический след, представляющий собой область, заполненную крупными вихрями, которые, взаимодействуя и диффундируя, постепенно сливаются и теряют индивидуальность. На достаточ­ном расстоянии от тела (дальний след) образуется непрерывное распределение дефекта скоростей в потоке, близкое к распределе­нию скоростей в струйном пограничном слое. Наличие вихрей в гидродинамическом следе приводит к понижению давления на тыльной части поверхности тела и соответствующему увеличению сопротивления давления, которое часто называют также вихревым сопротивлением.

Экспериментальное значение коэффициента сопротивления пластины, поставленной нормальнок потоку, может достигать значений G_x = 2. Следует, однако, иметь в виду, что структура течения в ближнем следе, а значит, и давление на тыльной стороне обтекаемого тела существенно зависят от числа Рейнольдса. По рис. 10.2 можно проследить характер изменения структуры потока за сферой при изменении Re от 9,15 до 133, а по рис. 10.7 — за цилиндром при Re = 0,25... 57,7. Но возможны и другие конфигурации потока. Они в значительной степени определяются также формой и положением обтекаемого тела. Так, например, при обтекании цилиндрических тел крылового профиля при малом угле атаки (см. рис. 8.30, а) возможно практически безотрывное течение, при котором форма линий тока для вязкой жидкости близка к форме этих линий для идеальной жидкости. Но при возрастании угла атаки увеличиваются положительные градиенты давлений на выпуклой части поверхности профиля и это в итоге приводит к отрыву пограничного слоя, который быстро сверты-

Рис. 10.2. Изменение структур потока за сферой при изменении числа Рейнольдса Re = u₀ D/n (где u ₀ —скорость потока в бесконечности; D — диаметр сферы)

вается в отдельные вихри, образующие гидродинамический след (см. рис. 8.30, б).

Таким образом, цилиндр крылового профиля в зависимости от его положения в потоке может быть удобо- или неудобообтекаемым телом. В первом случае его сопротивление давления мало и сила лобового сопротивления почти полностью определяется вторым слагаемым в формуле (10.4), т. е. сопротивлением трения. Во втором случае, наоборот, сопротивление давления велико, а трение в большинстве случаев пренебрежимо мало. Применяя уравнение количества движения, можно показать, что сопротивление давле­ния тем меньше, чем меньше ширина гидродинамического следа (вихревой зоны за телом). Поэтому удобообтекаемыми могут быть только такие тела, которые имеют заостренную или тонкую заднюю кромку. Для них при безотрывном обтекании теорети­ческая ширина следа равна нулю.

Поскольку сопротивление давления определяется только распределением давления по поверхности тела, естественно попытаться в рамках теории идеальной жидкости построить такую схему течения, которая давала бы теоретическое распределение, близкое к действительному. Схема безотрывного обтекания круглого цилиндра потенциальным потоком, рассмотренная в гл. 7, дает удовлетворительный результат только для лобовой части поверхности цилиндра, а на тыльной ее стороне теоретическое и опытное распределения давлений резко расходятся, причем теория приводит к парадоксу Даламбера. Схема отрывного обтекания (Кирхгофа), как отмечено выше, дает более точный результат по распределению скорости, однако расчетное сопротивление при этом почти в 2 раза меньше действительного. Хорошая согласованность теоретических и экспериментальных результатов получается при использовании схемы так называемой «вихревой дорожки» Кармана, согласно которой за обтекаемым телом образуется полоса, заполненная дискретными вихрями, расположенными в шахматном порядке (рис. 10.3). При определенном соотношении расстояний между вихрями эта «дорожка» является устойчивой и с помощью уравнения импульсов можно найти теоретическое значение вихревого сопротивления.

На рис. 10.4 показана теоретическая конфигурация линий тока для такой вихревой дорожки, а на рис. 10.5 — фотография такого же течения, полученная в опытах при обтекании круглого цилиндра с числом Re = v ₀ d/n = 250, где d— диаметр цилиндра. При этом режиме течение становится нестационарным, с верхней и нижней кромки обтекаемого тела попеременно срываются крупные вихри, которые, перемещаясь по течению, образуют «вихревую дорожку». Коэффициенты сопротивления, полученные теоре­тически с использованием схемы «вихревой дорожки» за круглым цилиндром и пластиной с достаточной степенью точности совпадают c результатами опытов (погрешность для цилиндра составляет 1,1 %, для пластины 9,4%).

Рис. 10.3. Схема «вихревой дорожки» Кармана	Рис. 10.4. Теоретическая конфигурация линий тока в «вихревой дорожке

Однако структура потока типа «вихревой дорожки» существует в относительно узком диапазоне чисел Re. При увеличении Re картина течения в следе изменяется. Тем не менее, дальнейшее развитие теории идеальной жидкости и применение вычислитель­ной техники позволили достаточно надежно рассчитывать не только сопротивление давления при обтекании простейших ци­линдрических тел, но решать гораздо более трудные задачи (на­пример, нестационарные обтекания крыловых поверхностей слож­ных конфигураций [2]).

Сочетание же методов теории идеальной жидкости с теорией пограничного слоя привело к появлению нового и уже глубоко разработанного раздела гидродинамики, посвященного отрывному обтеканию тел [6].

Сила R _тр сопротивления трения полностью определяется касательными напряжениями на поверхности тела, которые можно рассчитать методами теории пограничного слоя (см. гл. 8 и 9). При этом для отрывного обтекания профилей умеренной относи-

Рис. 10.5. Фотография течения в «вихревой дорожке» (фотокамера покоится относительно невозмущенной жидкости)

тельной толщины теоретически можно найти не только сопротивле­ние трения, но и полное (профильное) сопротивление [6]. Для тел произвольной формы достаточно точное определение полного со­противления и его слагаемых нередко оказывается невозможным и приходится использовать экспериментальные данные. При этом каждую гидродинамическую силу характеризуют своим безраз­мерным коэффициентом.

Приведем формулу (10.4) к безразмерному виду. Для этого выберем характерную скорость v (например, скорость невозмущенного потока v ₀) и характерную площадь S₀ и запишем выражение (10.4) в виде

(10.6)

где Еu = p / (ρ v ²), c _f = 2τ_s/(ρ v ²), = S / S₀

Обозначим выражение в квадратной скобке через С x. Эту величину называют коэффициентом лобового сопротивления, а формулу для силы Р _x записывают в виде

(10.7)

При экспериментальном определении сопротивления тел в качестве характерной площади S₀ выбирают обычно площадь миделевого сечения, т. е. площадь проекции поверхности тела S на плоскость, нормальную вектору скорости v₀.

Безразмерный коэффициент С_x характеризует суммарное сопротивление и зависит от формы обтекаемого тела и числа Рейнольдса, причем в результате экспериментальных исследование получено, что эта зависимость имеет весьма сложный характер.

Как было показано в п. 6.4, местный коэффициент трения можно выразить формулой (6.19). Введя обозначения

для коэффициента лобового сопротивления получим

(10.8)

Очевидно, параметр A ₁ определяется законом распределения давления на поверхности тела, а параметр A ₂ — законом распределения касательных напряжений. И тот и другой законы зависят от числа Re, поскольку с его изменением изменяется характер течения в пограничном слое. Поэтому зависимость С _х от (Re) в широком диапазоне изменения Re оказывается достаточно сложной.

На рис. 10.6 приведены кривые С _х (Re) для круглого цилиндра и шара. При малых числах Re картина обтекания цилиндра, т. е. конфигурация линий тока близка к картине обтекания идеальной жидкостью (рис. 10.7), поэтому и распределение давления по поверхности цилиндра близко к рассмотренному в гл. 7.4. При этом, очевидно, должно быть A ₁ » 0 и С _х » A ₂ /Re. Кривая

Рис. 10.6. Зависимость коэффициента лобового сопротивления от числа Рейнольдса: