Элементы теории множеств

Под словом множество понимают совокупность некоторого числа однотипных элементов. Это базовое понятие. Множество обозначают заглавной буквой (А, B, C,...), а его элементы строчными буквами (a, b, c,...). Например, множество натуральных чисел N = {1, 2, 3, 4,... }.

При описании множеств используют специальные символы, которые означают:

· х Х – элемент х принадлежит множеству Х.

· х Х – элемент х не принадлежит множеству Х.

· A B – множество А является подмножеством B, т.е. состоит из части элементов множества В.

· Операция объединения А В. Объединение образуется из а А плюс b B.

· Операция пересечения А В. Пересечение образуется из элементов одновременно входящих и в А и в В.

· Операция разности А \ В. Разность образуется из а А, не входящих в В.

· Операция дополнения В = В \ А множества В до множества А, если В А.

· О – пустое множество (нет элементов).

· Если А = А_k и А_k А_i = 0, то А = А ₁ + А ₂ +... + А_n.

Пример. 1) {1, 2, 3} {2, 3, 4} = {1, 2, 3, 4},

2) {1, 2, 3} {2, 3, 4} = {2, 3},

3) {1, 2, 3}\{2, 3, 4} = {1},

4) {2, 3, 4} {1, 2, 3, 4} {1} = {2, 3, 4}.

Определение. Действия , , \ над подмножествами произвольного множества А составляют содержание алгебры множеств, которая называется булевой алгеброй.