Вывод уравнения окружности

Пусть на плоскости введены прямоугольные координаты. Рассмотрим окружность радиусом r и с центром в точке C(a,b). Если точка M(x,y) принадлежит окружности, то её расстояние от центра равно r, т. е. MC = r.

Выразим MC через координаты точек M и C:

MC = Но MC = r => (x-a)2 + (y-b)2 = r2

15) Ах+Ву+С=0

16) Расстояние от прямой Ах + Ву + С = 0 до начала координат: р = |С| / ÖА² + В²

Расстояние от произвольной точки М₀ (х₀, у₀) до прямой Ах + Ву + С = 0: d = |А_х0 + В_у0 + С| / ÖА² + В²

17) Эллипс – фигура, образованная точками плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от двух данных точек постоянна и больше расстояния между этими точками. х²/а² + у²/в² = 1.

Координата фокуса с = Öа² – в²

18) Гипербола – фигура, образованная точками плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек плоскости постоянен и меньше расстояния между этими точками. Данные точки – фокусы, а расстояния между ними – фокальное расстояние.

- общее свойство точек |F₁M| – |F₂M| = 2a;

- переход к координатам дает каноническое уравнение гиперболы

х²/а² – у²/в² = 1.

19. Парабола – фигура, образованная точками плоскости, для каждой из которой расстояние до данной точки равно расстоянию до данной прямой, не проходящей через данную точку. Данная точка – фокус, а прямая – директриса.

- уравнение директрисы х = - р/2;

- общее свойство точек |MF| = |MN|;

- переход к координатам Ö(х – р/2)² + у2 = х + р/2, у² = 2рх.

20. Преобразование координат на плоскости.

Параллельный перенос системы координат. Имеем прямоуголь-ную систему координат ХУ с центром в точке О (0, 0). Через некоторую точку О* (а, в) проведем новые оси координат, параллельные Х и У, сохранив направление и масштаб. Координаты произвольной точки М (х, у) в новой системе координат Х*У* примут значения

х* = х – а или х = х* + а

у* = у – в у = у* + в

т.е. параллельный перенос системы координат приводит к линейным преобразованиям координат.

Поворот системы координат. Систему координат ХУ с ортами i, j повернем на угол относительно начала координат и введем новые орты i*, j*. Выразим старые орты через новые

i = cos a i* - sin a j*

j = sin a i* + cos a j*

Радиус-вектор произвольной точки М (х, у) разложим по ортам i, j и перейдем от них к ортам i*, j*.

ОМ = {х, у} = хi + уj = x (cos a i* - sin a j*) + y (sin a i* + cos a j*) = (x cos a + y sin a) i* + (-x sin a + y cos a) j* = {x*, y*}

В результате получаем формулу преобразования координат при повороте осей на угол a:

х* = х cos a + y sin a

y* = -x sin a + y cos a