ВОПРОС 6 (1)

Определение Евклидова пространства. Примеры. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональные матрицы и ортогональные преобразования. Ортогонализация Грамма-Шмидта. Построение ортонормированного базиса в Евклидовом пространстве.

· Определение: пусть Е – вещ линпрос и пусть в Е задана симметрич билинейная положительно определенная форма, которая обоз(x,y), тогда пара называется евклидовым прос-м, а форма (x,y) называется скалярным произведением.

Опре: L – л прос над Р, пустьA(x,y) x,yϵLсо значениями в поле P: A(αx+βz,y)= αA(x,y)+βA(z,y), A(x,αy+βz)=αA(x,y)+βA(x,z), тогда А билинейная форма.

Свойства скалярного произведение:

1) для любого x,yϵE (x,y)=(y,x); 2) (αx+βy,z)=α(x,z+β(y,z)); 3)для любого xϵE (x,y)≥0, (x,x)>0 при x≠0

Примеры: (x,y)=x1y1+x2y2

(x,y)=

· Пусть xϵE тогда нормой х называется число ||x||=

Вектор х называется нормированным если||x||=1

X,yϵE, x≠0 y≠0 (2 ненулевых вектора), тогда углом между векторами называется угол , cos

· Ортогональная матрица -квадратная матрица A с вещественными элементами, результат умножения которой на A^T равен единичной матрице: или, что эквивалентно, её обратная матрица равна транспонированной матрице

§ Свойства: Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

и

где , n — порядок матрицы, а — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Так же и для столбцов.Определитель ортогональной матрицы равен , что следует из свойств определителей:

Множество ортогональных матриц порядка над полем образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу которая обозначается или (если опускается, то предполагается ).Ортогональные матрицы соответствуют линейным операторам, переводящим ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.Любая вещественная ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

и

Ортогональное преобразование — линейное преобразование евклидова пространства , сохраняющее длины или (что эквивалентно этому) скалярное произведение векторов. Это означает, что для любых двух векторов выполняется равенство где треугольными скобками обозначено скалярное произведение в пространстве .

Свойства: Ортогональные преобразования (и только они) переводят один ортонормированный базис евклидова пространства в другой.Необходимым и достаточным условием ортогональности линейного преобразования является равенство

где — сопряжённое, а — обратное преобразования.В ортонормированном базисе ортогональным преобразованиям (и только им) соответствуют ортогональные матрицы. Таким образом, критерием ортогональности матрицы является равенство (*), где — транспонированная, а — обратная матрицы.Собственные значения ортогональных преобразований равны по модулю 1, а собственные векторы (вообще говоря, комплексные), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.Определитель ортогонального преобразования равен 1 (собственное ортогональное преобразование) или − 1(несобственное ортогональное преобразование).В произвольном n -мерном евклидовом пространстве ортогональное преобразование является композицией конечного числаотражений.Множество всех ортогональных преобразований евклидова пространства образует группу относительно операции композиции —ортогональную группу данного евклидова пространства. Собственные ортогональные преобразование образуют нормальную подгруппу в этой группе

· Рассмотрим произвольный набор векторов пространства . Поставим задачу построить на основе этих векторов ортонормированный набор векторов того же пространства .Напомним, что набор векторов называется ортонормированным, если для любых двух векторов из этого набора выполняется условие

(2)

Или, другими словами, набор векторов ортонормирован, если эти векторы линейно независимы и скалярное произведение любых двух из них равно единице.Для построения векторов применим индуктивный подход. Положим, что

	(3)
где - символ евклидовой нормы. Полагая векторы уже построенными будем искать вектор в виде	(4)

Для отыскания неизвестных множителей умножим (4) скалярно на вектор :

Поскольку , имеем	(5)
Множитель найдем из условия :	(6)

Определение 1. Процесс перехода от векторов к векторам согласно формулам (3) – (6) называется ортогонализацией Грамма-Шмидта

· Во всяком пространстве существует ортонормированный базис. Из произвольного базиса пространства ортогональный базис может быть построен с помощью процесса ортогонализации:

где

где

...............

где

Пронормировав каждый вектор получим ортонормированный базис. В ортонормированном базисе () для векторов имеем: