ВОПРОС 2 (1)

Определение кольца. Определение поля. Кольцо многочленов над полем. Основная теорема алгебры (без доказательства). Следствие из основной теоремы алгебры (разложение многочлена на неприводимые множители над полем комплексных чисел). Корни многочлена с действительными коэффициентами и его разложение на действительные неприводимые множители.

Определение: Пусть K – множество, на котором заданы две алгебраические операции, обозначаемые «+» и «•», называемые «сложение» и «умножение» соответственно.

1) Пусть относительно 1-ой операции (K, +) является коммутативной группой.

2) Пусть операция «•» ассоциативна.

3) Пусть выполнены соотношения:

- дистрибутивность

тогда (K, +, •) называется кольцом.

Если K содержит нейтральный элемент относительно операции «•», то K называется кольцом с единицей. Если операция умножения коммутативна, то K называется коммутативным кольцом.

Пояснение: Пусть G – множество, на которой задана алгебраическая операция ☼. (G, ☼) – коммутативная группа, если выполняются следующие условия:

1)

2) e – нейтральная единица

3)

4)

Примеры:

1) (R, +, •) – коммутативное кольцо с единицей

2) (Z, +, •) – коммутативное кольцо с единицей

Определение: Пусть P – множество с двумя операциями «+», «•». Пусть выполняется следующее:

1) (P, +) – коммутативная группа

2) (P\{0}, •) – коммутативная группа

3)

тогда (P, +, •) – поле

Примеры:

1) (R, +, •) – поле

2) (Q, +, •) – поле

3) (Z₃, +, •) – поле

Пояснение:

Z₃ – множество вычетов по модулю 3.

Определение: Многочленом над полем (или ) называется конечная последовательность

Многочлены a и b называют равными, если

Сумма двух многочленов a и b: c = a + b; c_i = a_i + b_i

Произведение двух многочленов a и b: d = ab; d_i =

Нулевым многочленом называют многочлен, в котором все коэффициенты равны 0:

0 = (0, 0, …, 0)

Определение: Пусть a – ненулевой многочлен (a ≠ 0): a = (a₁, a₂, …, a_n, 0, …, 0), тогда степенью многочлена a называют число n = deg a.

Теорема: Множество многочленов над полем является коммутативным кольцом с единицей.

Док-во:

1. P(, +) – коммутативная группа

2. Пусть

Проверим, что (ab)c = a(bc)

1) Введем обозначения ab = d, dc = f, bc = g, ag = h. Проверим, f = h?

2) .

Аналогично, .

Следовательно,

3. (a + b)c = ac + bc - дистрибутивность

4. dc = cd – коммутативность

5. 1 = (1, 0, 0, …)

Доказано.

Основная теорема алгебры: Любой многочлен степени n ≥ 1 с комплексными коэффициентами имеет корень.

Определение: Число x₀ называется корнем многочлена a (x), если a (x₀) = 0,

где

Число x₀ называется корнем кратности k многочлена a (x), если a(x) = (x – x₀)^kq(x)

Следствия основной теоремы алгебры (без доказательства):

«Разложение многочлена над полем ».

Многочлен степени n ≥ 1имеет n корней, если их считать с учетом кратности.

ВОПРОС 3 (1).

Определение линейного пространства. Размерность и базис линейного пространства. Сумма и пересечение линейных подпространств. Теорема о размерности суммы линейных подпространств. Примеры.

Определение: Пусть (L, +) – коммутативная группа, P – поле и пусть тогда

1. α(βx) = (αβ)x,

2. 1• x = x

3. (α + β) x = αx + βx

4. α(x + y) = αx + αy

тогда L называется линейным пространством над полем P.

Элементы L будем называть точками или векторами, а элементы P – числами.

Пример: R² = L, P = R; x = (x₁, x₂)^т, x₁, x₂ принадлежат R.

Определение: система векторов называется базисом пространства L, если:

1) – линейно независимая система

2)

- координаты x в базисе . Число n (количество элементов базиса) называется размерностью пространства L. n = dim L.

Пояснение: система векторов называется линейно независимой системой (лнс),если

Система, не являющаяся лнс называется линейно зависимой системой (лзс)

Определение: Пусть L₁, L₂ – подпространства L. Тогда их суммой называется множество

Пример: в R³:

Свойства базиса и размерности (без доказательства)

1) Координаты вектора в данном базисе определены однозначно.

2) При сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на числа – умножаются на это число.

3) Пусть l₁, …,l₂; g₁, …, g₂ – базисы пространства L, тогда m = n

4) Пусть dim L = n. Тогда векторы образуют лзс

5) Пусть dim L = n. Тогда лнс, состоящая из n векторов является базисом.

6) лнс векторов конечномерного пространства можно дополнить до базиса.

Определение: Пусть L₁, L₂ – подпространства L. Тогда их суммой называется множество

Теорема (о размерности суммы линейных подпространств)

Доказательство:

Выберем базис в . Учитывая, что любую лнс векторов конечномерного пространства можно дополнить до базиса (это утверждение), и зная, что можно дополнить до базиса L ₁. Пусть базис L₁ (2); базис в L ₂(3).

Докажем, что система базис L ₁ + L ₂ (4).

1) Система (4) – лнс

Обозначим данные суммы a, b и c соответственно.

//не знаю почему

Т.к. из (5) => имеем: .

Разложим вектор c по базису (1): и подставим в равенство (5)

Получилась линейная комбинация векторов пр-ва L ₂ =>

2) . Т.к. - линейная комбинация + - л.к., значит (4) – лкс.

Итак, система (4) – базис . Значит

Доказано.

ВОПРОС 4 (1).

Определение линейного оператора и его матрицы. Связь между матрицами линейного оператора в разных базисах. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Теорема о линейной независимости системы собственных векторов с разными собственными значениями. Канонический вид линейного оператора в случае, когда все его собственные значения различны.

Определение: Пусть есть L ₁, L ₂ – линейные пространства. И пусть есть функция A: L ₁→ L ₂. A называется линейным оператором, если выполняются следующие условия:

1)

2)

Примеры:

1) Ax = 0; A = 0 – нулевой оператор

2) A: L → L (оператор действует в одном пространстве)

Ax = x – единичный оператор (Обозн. A = I)

Определение: Ядро линейного оператора: Ker A = { x: A (x) = 0}

Образ линейного оператора: Im A = { A (x); }

Определение: Пусть e ₁, …, e _n; g ₁, …, g _m – базисы L. Разложим векторы базиса второго по первому Матрица C – матрица перехода от базиса { e_i } к базису { g_i }.

Формула связи координат векторов в двух базисах

Замечание: Матрица C невырождена. Если бы она была вырождена, то ее столбцы были бы лз, а это означало бы, что векторы { g } лз. Поэтому существует обратная матрица к C = C ^-1.

Как связаны A_e и A_g? Возьмем произвольный и обозначим y = Ax значение линейного оператора.

Известно, что x_e = Cx_g; y_e = Cy_e

y_e = Cy_g, y_e = A_ex_e, y_g = A_gx_g

ð A_eCx_g = CA_gx_g => CA_g = A_eC.

Итак, получили формулу связи линейного оператора в разных базисах:

A_g = C^-1 A_eC

Замечание: det A_g = det (C^-1A_eC) = det C^-1 detA*det C = det C^-1 det C det A_e = det A_e

Т. е. определитель матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса (инфвариант)

Примеры:

1) Ae₁ = 2e₁ + 3e₂

Ae₂ = 3e₁ – e₂

2) Ag₁ = g₁

Ag₂ = 0

Определение: Пусть A: L → L. Пусть . Пусть λ – некоторое число. Пусть Ax=λx. x – ненулевое решение уравнения Ax= λx. Тогда x называется собственным вектором оператора A, соответствующим собственному значению λ.

Пример: Пусть A = I, тогда λ = 1, а все векторы x ≠ 0 будут собственные.