 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Закон больших чисел для случаиных величин.Центральная предельная теорема
|
|
Для приближённого решения краевых задач теплопроводности широко применяется метод конечных разностей (метод сеток). Идея метода состоит в следующем.Область непрерывного изменения аргументов заменяется расчетной сеткой – дискретным множеством точек (узлов). Вместо функции непрерывных аргументов вводятся функции дискретных аргументов – сеточные функции, определяемые в узлах сетки. Частные производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, заменяются (аппроксимируются) разностными соотношениями .. Консервативные схемы – это разностные схемы, выполняющие законы сохранения на сетке. В отличие от консервативных схем, неконсервативные схемы расходятся в случае разрывного коэффициента теплопроводности. Вторым примером служит свойство монотонности – выполнение принципа максимума и минимума разностного решения. Разностное решение должно сходиться к точному при измельчении сетки.Консервативная разностная схема строится в одномерном или двумерном случае. Конечноэлементная схема строится в двумерном плоском случае. Далее рассматриваются способы построения разностных схем при решении задач теплопроводности численными методами. Разностные схемы для задачи стационарной теплопроводности. Вслучае стационарного температурного поля перенос тепла осуществляется теплопроводностью, а температура описывается эллиптическим уравнением второго порядка с определенными краевыми условиями. Для применения разностных методов в области изменения переменных G вводят сетку. Все производные и краевые условия заменяют разностями значений функции в узлах сетки. При написании каждого разностного уравнения около некоторого узла сетки берется одно и то же количество узлов, образующее строго определенную конфигурацию. Эта конфигурация узлов, которые используются для построения разностного оператора, называется шаблоном разностной схемы. Узлы, в которых разностная схема записана на шаблоне, называются регулярными, а все остальные узлы – нерегулярными. На рис. 1.1 показан пример прямоугольной равномерной сетки. Здесь: 
– переменные.
Рис. 1.1. Пример прямоугольной равномерной сетки, построенной для прямоугольной области изменения переменных G(x,t ). Для нерегулярных областей в ряде случаев удается построить согласованную сетку, которая образована узлами обычной прямоугольной неравномерной сетки с узлами, лежащими на границе (эти узлы согласованы). Пример согласованной разностной сетки для нерегулярной области приведен на рис. 1.2.
Рис. 1.2. Пример нерегулярной согласованной разностной сетки. Исходная дифференциальная задача при аппроксимации заменяется сеточной. Соответствующие разностные (сеточные) уравнения есть система линейных алгебраических уравнений для неизвестных значений сеточной функции.Другой способ построения разностных схем основан на методе конечных элементов
Построение разностных схем может осуществляться на основе метода конечных элементов. Для построения конечномерного подпространства исходная расчетная область разбивается на некоторые элементарные ячейки. В двумерном случае в качестве таковых наиболее подходящими являются треугольники, причем внутри таких ячеек приближенное решение является линейной функцией. Такого вида сетки выбраны в связи с возможностью решения задач в областях достаточно произвольной формы. На рис. 1.3 показана равномерная сетка 
с шагом 
Рис. 1.3. Равномерная конечноэлементная сетка, состоящая из треугольников, применяемая в методе конечных элементов.
В рассматриваемой области фиксируется конечное число точек, которые называют узлами (узловыми точками). Непрерывная величина аппроксимируется моделью, состоящей из отдельных элементов. На каждом из этих элементов исследуемая непрерывная величина аппроксимируется кусочно-непрерывной функцией. Выбираются аппроксимирующие базисные функции 
в виде кусочных полиномов малой степени или полиномов более высоких степеней (квадратичных, кубических и др.) Полином, связанный с данным элементом называют функцией элемента. Далее строится разностная схема.
Разностные схемы для нестационарных задач. Нестационарные тепловые поля описываются параболическими уравнениями второго порядка. Разностные схемы составляются многослойными. Например, при использовании двухслойной разностной схемы в разностное уравнение входят значения на двух временных слоях. Для нестационарных задач в области вводится пространственная сетка, с которой связывается некоторое конечномерное пространство. Вводится сетка и по времени, для простоты, равномерная. Приближенное решение рассматривается как функция дискретного аргумента. Операторно-разностная схема связывает разностное решение на нескольких временных слоях. Такая разностная схема является многослойной.У данной задачи есть и начальные, и граничные условия, поэтому задача является нестационарной (смешанной) краевой. Задача имеет нелинейный характер, т.е. теплофизические свойства среды зависят от температуры и граничные условия нелинейны.
Зако́н больши́х чи́сел в теории вероятностей утверждает, что эмпирическое среднее (среднее арифметическое) достаточно большой конечной выборки из фиксированного распределения близко к теоретическому среднему (математическому ожиданию) этого распределения. В зависимости от вида сходимости различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду.Всегда найдётся такое конечное число испытаний, при котором с любой заданной наперёд вероятностью меньше 1 относительная частота появления некоторого события будет сколь угодно мало отличаться от его вероятности.Общий смысл закона больших чисел — совместное действие большого числа одинаковых и независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.На этом свойстве основаны методы оценки вероятности на основе анализа конечной выборки. Наглядным примером является прогноз результатов выборов на основе опроса выборки избирателей.В основе доказательства теорем, объединенных термином "закон больших чисел", лежит неравенство Чебышева, по которому устанавливается вероятность отклонения от ее математического ожидания:
Центральная предельная теоремаТеорема Ляпунова объясняет широкое распространение нормального закона распределения и поясняет механизм его образования. Теорема позволяет утверждать, что всегда, когда случайная величина образуется в результате сложения большого числа независимых случайных величин, дисперсии которых малы по сравнению с дисперсией суммы, закон распределения этой случайной величины оказывается практически нормальным законом. А поскольку случайные величины всегда порождаются бесконечным количеством причин и чаще всего ни одна из них не имеет дисперсии, сравнимой с дисперсией самой случайной величины, то большинство встречающихся в практике случайных величин подчинено нормальному закону распределения.
БИЛЕТ 16
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 341 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
