Характеристический многочлен линейного оператора и его свойства

Для данной матрицы , , где Е — единичная матрица, является многочленом от , который называется характеристическим многочленом матрицы A

Свойства:

· Для матрицы , характеристический многочлен имеет степень .

· Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.

· Теорема Гамильтона — Кэли: если — характеристический многочлен матрицы , то .

· Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: .

· Если A и B — две -матрицы, то . В частности, отсюда вытекает, что tr(AB)=tr(BA) и det(AB)=det(BA).

· В более общем виде, если A — -матрица, а B — -матрица, причем m<n, так что AB и BA — квадратные матрицы размеров m и n соответственно, то

.