Диаганализаруемость линейного оператора и т.д. и т.п

Линейный оператор называется диагонализируемым, если существует базис, в котором матрица этого оператора имеет диагональный вид .

Оператор A называется диагонализируемым, если существует базис, в котором матрица этого оператора диагональна.

По определению матрицы оператора, базис, в котором матрица оператора диагональна, состоит из собственных векторов. Поэтому оператор диагонализируем тогда и только тогда, когда для него существует базис из собственных векторов

Т ЕОРЕМА (необходимое и достаточное условие диагональности матрицы оператора).

Матрица A оператора φ в базисе e ₁, e ₂,…, e _n имеет диагональный вид Û все базисные векторы e _i являются собственными векторами этого оператора.

Для доказательства теоремы нам понадобится лемма.

Лемма 2.7.3. Собственные подпространства Vλ1,..., Vλk, соответствующие попарно различным собственным значениям λ1,..., λk оператора A, образуют прямую сумму Vλ1 ⊕... ⊕ Vλk

Доказательство. Проведём индукцию по k. При k = 1 утверждение очевидно. По определению прямой суммы мы должны проверить, что соотношение

(2.3) v1 +... + vk = 0,

где vi ∈ Vλi

, влечёт v1 =... = vk = 0. Применив к (2.3) оператор A, получим

λ1v1 +... + λkvk = 0

Умножим (2.3) на λk и вычтем из предыдущего соотношения:

(λ1 − λk)v1 +... + (λk−1 − λk)vk−1 = 0.

По предположению индукции получаем (λ1 − λk)v1 =... = (λk−1 − λk)vk−1 = 0. Так

как по условию λ1 − λk ̸= 0,..., λk−1 − λk ̸= 0, получаем v1 =... = vk−1 = 0. Тогда

из (2.3) следует, что и vk = 0.