Критерий Пирсона

Критерий Пирсона или критерий c² (хи - квадрат) имеет наибольшее применение при проверке согласования теоретической и эмпирических кривых распределения. Наблюдаемое значение критерия вычисляется по следующей формуле:

, (3.31)

где - эмпирическая частота i-го интервала (варианта);

- теоретическая частота i-го интервала (варианта);

- число интервалов (вариантов).

Как известно c² - распределение зависит от числа степеней свободы, это число находится по формуле

, (3.32)

где r - число параметров предполагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот и оцениваемых по выборке.

По теоретическим соображениям при расчете не следует исходить из слишком малых значений . Поэтому рекомендуется объединять соседние интервалы (варианты) таким образом, чтобы > (5 10) для объединенных интервалов. Кроме того, объем выборки должен быть достаточно велик (n ³ 50) и .

В случае нормального закона распределения расчет теоретической кривой распределения j(x) производится при условии, что статистические характеристики приравниваем числовым характеристикам нормального закона (m; s), поэтому r = 2 и число степеней свободы n = -3.

Вероятности попадания случайной величины X в соответствующие интервалы вычисляется по интегральной теореме Лапласа

, (3.33)

где ; .

В случае биномиального закона распределения расчет теоретической кривой распределения производится при условии, что статистическая доля (частость) приравнивается вероятности p появления интересующего нас события А, поэтому r = 1 и число степеней свободы n = -2.

Вероятность p_i того, что случайная величина X принимает значение x_i = m, где , определяется по формуле Бернулли

, (3.34)

где - средняя частость проявления появления события во всех k выборках;

n - число испытаний в каждой выборке.

В случае закона Пуассона расчет теоретической кривой распределения производится при условии, что средняя интенсивность приравнивается математическому ожиданию M(x), поэтому r = 1 и n = -2.

Вероятность p_i того, что случайная величина X принимает значение x_i = m, определяется по формуле Пуассона

, (3.35)

где - средняя интенсивность.

m_i - частота появления значения х_i; i=1, 2,..., к.

При проверке гипотез о виде законов распределения могут быть использованы и другие критерии согласия: Колмогорова, Романовского, Ястремского и др.

Для проверки критерия вводится статистика:

где — предполагаемая вероятность попадения в i -й интервал, — соответствующее эмпирическое значение.

Эта величина в свою очередь является случайной(в силу случайности X) и должна подчиняться распределению χ².