Применение распределения Стьюдента

Распределение Стьюдента используется в статистике для точечного оценивания, построения доверительных интервалов и тестирования гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения. В частности, пусть независимые случайные величины, такие что. Обозначим выборочное среднее этой выборки, а S2 её выборочную дисперсию. Тогда

.

2.6

Пусть случайные величины c_n² и c_m² независимы и имеют распределение c² с n и m степенями свободы соответственно. Тогда случайная величина имеет F-распределение с плотностью вероятности

, x >0, - гамма-функция Эйлера; , m >2; , m > 4.

2.8

Пусть из генеральной совокупности X, распределенной по нормальному закону N(m;s), взята случайная выборка объемом n и вычислена выборочная дисперсия . Требуется определить с надежностью g интервальные оценки для генеральной дисперсии s² и среднего квадратического отклонения s.

Построение доверительного интервала для генеральной дисперсии основывается на том, что случайная величина имеет распределение Пирсона (c²) с n = n степенями свободы, а величина имеет распределение Пирсона с n = n-1 степенями свободы.

Подробно рассмотрим построение доверительного интервала для второго случая, так как он наиболее часто встречается на практике. Для выбранной доверительной вероятности g = 1-a, учитывая, что имеет распределение c² с n = n-1 степенями свободы, можно записать

Далее по таблице c² - распределения нужно выбрать такие два значения , чтобы площадь, заключенная под дифференциальной функцией распределения c² между , была равна g = 1-a.

Обычно выбирают так, чтобы

(2.22)

т.е. площади, заштрихованные на рис. 2.1 были равны между собой.

	g

Тогда имеем

(2.23)

Так как таблица c² - распределения содержит лишь , то для вычисления запишем следующее тождество:

. (2.24)

Подставив (2.24) в (2.23), получим

и окончательно

(2.25)

Формула (2.25) используется при решении обратной задачи - нахождении доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу генеральной дисперсии.

Причем

(2.26)

Преобразуем двойное неравенство в (2.23):

(2.27)

окончательно получим

(2.28)

Это и есть доверительный интервал для генеральной дисперсии, когда неизвестно значение генеральной средней и по выборке объемом n вычисляется выборочная дисперсия S².

2.9

Доверительная область представляет собой множество пар значений (p, p *), попа-

дающих внутрь эллипса, уравнение которого имеет вид: