Погашение долга в рассрочку

В практической финансовой деятельности, особенно при значительных размерах задолженности, долг обычно погашается в рассрочку, частями. Такой метод погашения часто называют амортизацией долга. Он осуществляется различными способами:

— погашением основного долга равными суммами (равными долями),

— погашением всей задолженности равными или переменными суммами по обслуживанию долга.

Погашение основного долга равными суммами. Пусть долг в сумме D погашается в течение n лет. В этом случае сумма, ежегодно идущая на его погашение, составит

d = D.

n

Размер долга последовательно сокращается: D, D — d, D — 2d и т.д. Соответствующим образом уменьшаются и выплачиваемые проценты, так как они начисляются на остаток долга. Пусть для простоты проценты выплачиваются раз в конце года по ставке g. Тогда за первый год и последующие годы они равны Dg, (D — d)g, (D — 2d)g и т.д. Процентные платежи, как видим, образуют убывающую арифметическую прогрессию с первым членом Dg и разностью —dg.

Срочная уплата в конце первого года находится как

Y₁ = Dg+ d.

Для конца года t находим

Y_t = D_t-1 d + d, t = 1,...,n, (6)

где D_t — остаток долга на конец года t.

Остаток долга можно определять последовательно:

D₁ = D_t-1 n-1

n

Если долг погашается р раз в году постнумерандо и с такой же частотой выплачиваются проценты, каждый раз по ставке g/p, то срочная уплата составит:

Y _t = D _{t-1 g} + D_{0 ,} t = 1,…, pn

p pn (7)

Остаток задолженности на конец года t в этом случае составит

D₁ = D_t-1 pn -1

pn

У рассмотренного метода амортизации задолженности есть одно положительное свойство — простота расчетов. Однако, в начале срока срочные уплаты погашения выше, чем в конце его, что часто является нежелательным для должника.

Погашение долга равными срочными уплатами. В соответствии с этим методом расходы должника по обслуживанию долга постоянны на протяжении всего срока его погашения. Из общей суммы расходов должника часть выделяется на уплату процентов, остаток идет на погашение основного долга. Так же как и при предыдущем методе, величина долга здесь последовательно сокращается, в связи с этим уменьшаются процентные платежи и увеличиваются платежи по погашению основного долга. По определению

Y= D_{t-1 g + Rt} = const.

План погашения обычно разрабатывается при условии, что задается срок погашения долга. Альтернативным и более редким является установление фиксированной суммы постоянных срочных уплат. Рассмотрим оба случая.

Задан срок погашения. Первый этап разработки плана погашения — определение размера срочной уплаты. Далее полученная величина разбивается на процентные платежи и сумму, идущую на погашение долга. После чего легко найти остаток задолженности.

Периодическая выплата постоянной суммы Y равнозначна ренте с заданными параметрами. Приравняв сумму долга к современной величине этой ренты, находим

Y = D.

a _n;g (8)

где a _n;g — коэффициент приведения годовой ренты со ставкой g и сроком n.

Все величины, необходимые для разработки плана, можно рассчитать на основе величины Y и данных финансового контракта. Найдем сумму первого погасительного платежа. По определению

d₁= Y-Dg.

Суммы, идущие на погашение долга, увеличиваются во времени:

d₁ = d_t-1 (1 + g) (9)

В связи с этим рассматриваемый метод погашения называют прогрессивным. Платежи по погашению долга образуют ряд d_1,

d₁(1 +g),..., d₁ (1 +g)^n-1

По этим данным легко определить сумму погашенной задолженности на конец года t после очередной выплаты:

_t-1

W_t = ∑ d₁ (1+g)^k = d₁s_t;g , (10)

^K=0

где s_r;g — коэффициент наращения постоянной ренты постну-мерандо.

Аналогичным образом разрабатываются планы погашения и для случаев, когда выплата процентов и погашение основного долга производятся не один, а несколько раз в году.

Заданы расходы по обслуживанию долга. Такая постановка задачи может возникнуть при разработке условий контракта. Ее решение, очевидно, заключается в определении срока погашения долга и достижении полной сбалансированности платежей.

Срок погашения находится как срок постоянной ренты. Пусть выплаты производятся раз в году постнумерандо, тогда символ R заменен на Y, а i — на g:

D

n = -In(1- Y * g)

In(1+g) (11)

Очевидно, что решение существует тогда, когда Dg/Y< 1. Расчетное значение n в общем случае оказывается дробным.

Переменные расходы по займу. Далеко не всегда оказывается удобным условие Y = const. Например, погашение долга может быть связано с поступлением средств из каких-либо источников и зависеть от ряда обстоятельств. Срочные уплаты в этом случае образуют ряд, члены которого либо задаются заранее, либо следуют какому-либо формальному закону. Остановимся на изменении расходов по геометрической прогрессии.

Итак, пусть ряд срочных уплат представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем q, тогда этот ряд можно записать в виде членов переменной ренты Y, Yq, Yq²,..., Yq^n-1. Приравняв современную стоимость этой ренты сумме первоначального долга, находим;

Y = D * q - (1+g)

q ⁿ - 1

1+g (12)

где q — заданный годовой темп роста платежей, g — процентная ставка по займу.

Далее находятся срочные уплаты и разрабатывается детальный план погашения.

В ряде случаев размеры срочной уплаты связываются с ожидаемыми поступлениями средств и задаются заранее в виде графика погашения. Размер последней срочной уплаты не задается. Она определяется как сумма остатка долга на начало последнего периода