Оценка вероятности (биномиального распределения) по относительной частоте

Пусть производятся независимые испытания с неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Требуется оценить неизвестную вероятность р по относительной частоте, т.е. надо найти ее точечную и интервальную оценки.

Утверждение 8. (Точечная оценка). В качестве несмещенной точечной оценки неизвестной вероятности р принимают относительную частоту , где m – число появлений события А, n – число испытаний.

Утверждение 9. (Интервальная оценка). Доверительный интервал для оценки вероятности по относительной частоте имеет вид:

p ₁< p < p ₂,

где

,

,

где – относительная частота, а число t определяется из равенства по таблице приложения 2.

Пример 6.1.13. Производят независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью g=0,95, если в 80 испытаниях событие А появилось 16 раз.

○ По условию, n =80, m =16, g=0,95. Найдем относительную частоту появления события А: .

Найдем t из соотношения по таблице приложения 2: t =1,96.

Подставив n =80, и t =1,96 в формулы для p ₁ и p ₂, получим соответственно p ₁=0,128, p ₂=0,299.

Итак, искомый доверительный интервал 0,128< p <0,299. ●

Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) слагаемые и очень малы и множитель , поэтому можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала

и .