Конкретный смысл деления раскрывается в процессе решения простых задач на деление по содержанию и на равные части

Ученики должны научиться выполнять по условию задачи операцию разбиения данного множества на ряд равночисленных подмножеств и связывать эту операцию с действием деления, научиться записывать решение задач с помощью этого действия.

На знании конкретного смысла действия деления основывается первый вычислительный прием деления: ученики находят частное, выполняя действия с предметами.

Например, чтобы найти частное 8: 4, берут 8 кружков (палочек и т.п.), раскладывают их по 4 и считают, сколько раз получилось по 4 кружка, или раскладывают 8 кружков на 4 равные части и считают, сколько кружков получилось в каждой части.

Для закрепления знания конкретного смысла действия деления и вычислительного приема, основанного на этом знании, включается решение простых задач на деление по содержанию и на равные части, а также решение примеров на деление с помощью действий с конкретными предметами (кружки, палочки и т.п.).

В это время ученики знакомятся с названиями компонентов и результатов действий умножения и деления:

позднее — делимое, делитель, частное.

Здесь же дети узнают, что термин «частное» обозначает не только результат действия, но и соответствующее выражение, например: 20: 5.

В связи с введением терминов дается еще один способ чтения примеров на умножение и деление, 20: 5 – делимое 20, делитель 5, найти частное.

Выражение дети читают так: частное чисел 20 и 5.

13. Методика составления таблиц умножения и соответствующих случаев деления.

2 * 7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14

2 * 8 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 + 2 = 16

Прием нахождения произведения с опорой на другое произведение, в котором один из множителей на единицу больше или меньше, используется при составлении таблиц умножения, поэтому ему надо уделить особое внимание:

2 * 7 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14

2 * 8 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14 + 2 = 16

Используя изученные приемы, составляется таблица умножения двух, которую дети должны будут постепенно запомнить. Другие таблицы составляются несколько позднее. Это позволит рассредоточить во времени изучение материала, который надо запомнить наизусть.

При составлении таблицы умножения двух результат находят сложением, используя при этом наглядные пособия, например квадрат с уголком (рис.), или обводят в тетради 9 рядов клеток, по 2 клетки в ряду.

Таблица на доске и в тетрадях записывается так:

2 * 2 = 4 2 + 2 = 4

2 * 3 = 6 2 + 2 + 2 = 6

2 * 4 = 8 2 + 2 + 2 + 2 = 8

2 * 5 = 10 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

2 * 6 = 12 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12

2 * 7 = 14 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 14

2 * 8 = 16 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 16

2 * 9 = 18 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18

При вычислении результатов дети используют известные им приемы:

Таблицу умножения двух на данном этапе читают так:

2 умножить на 2, получится 4,

или по 2 взять 2 раза, получится 4.

Для заучивания таблицы надо включать специальные тренировочные упражнения, предлагая их в занимательной форме.

Далее изучаются связи между компонентами и результатами действий умножения и деления. На основе этих связей вводятся приемы для табличных случаев деления.

Связь между компонентами и результатом действия умножения раскрывается с помощью наглядных пособий. Учащимся предлагается составить пример на умножение по рисунку:

□□□□ □□□□ □□□□

Ученики составляют пример: 4 * 3 = 12.

Назовите первый множитель. (4.)

Назовите второй множитель. (3.)

Назовите произведение. (12.)

Пользуясь этим же рисунком, составьте два примера на деление. Получается запись:

4 * 3 = 12

12: 4 = 3

12: 3 = 4

Сравните примеры на деление с примером на умножение.

Как получили второй множитель 3? (Произведение 12 разделили на первый множитель 4.)

Как получили первый множитель 4? (Произведение 12 разделили на второй множитель 3.)

Позднее эти два вывода объединяют в один: если произведение двух чисел разделить на один из множителей, то получим другой множитель.

На этом же этапе на основе связи между произведением и множителями рассматриваются табличные случаи деления с числом 2.

Ученики записывают по памяти известную им таблицу умножения на 2. Затем, используя знание связи между компонентами и результатом действия умножения, находят результаты соответствующих случаев деления. Получается запись:

2 * 2 = 4 4: 2 = 2

2 * 3 = 6 6: 2 = 3 6: 3 = 2

2 * 4 = 8 8: 2 = 4 8: 4 = 2 и т.д.

При закреплении знания этих связей надо ознакомить учащихся с приемом подбора частного. Например, надо 18 разделить на 6, для этого подбираем такое число (частное), при умножении которого на делитель 6 получается делимое 18; это число 3, так как 6 * 3 = 18. Этот прием в дальнейшем широко используется при делении чисел в пределах 100.

14. Приемы сложения и вычитания в концентре 10 и методика их изучения.

В целях подготовки к изучению сложения, и вычитания следует показать, что прибавлять и вычитать можно разные числа, а не только единицу. Поэтому при изучении нумерации рассматриваются все случаи сложения и вычитания в пределах пяти:

И т.д.

а также отдельные случаи в пределах, 10.

При изучении этой темы необходимо обеспечить усвоение детьми рациональных вычислительных приемов сложения и вычитания в пределах первого десятка:

- сформировать прочные вычислительные навыки;

- добиться запоминания наизусть результатов сложения и вычитания;

- добиться запоминания наизусть состава чисел из слагаемых.

В органической связи с изучением сложения и вычитания включаются элементы алгебры и геометрии:

- знакомство с математическими выражениями (сумма, разность);

- их чтение и запись;

- получение числового равенства и неравенства вида: 4 + 2 > 7, 7 – 3 < 7 + 3 и т.д.

- знакомство с уравнениями вида: х – 3 = 7, 5 + х = 9 (их решение) ;

- закрепление умений чертить и измерять отрезки;

- включение задач на составление геометрических фигур и на вычленение знакомых фигур из заданной фигуры.

Изучение сложения и вычитания в пределах 10 можно провести по такому плану:

1) Подготовительный этап:

- раскрытие конкретного смысла действий сложения и вычитания;

- запись и чтение примеров, случаи прибавить и вычесть 1, где результаты находятся на основе знания образования натуральной последовательности чисел.

2) Изучение приемов присчитывания и отсчитывания по одному и группами для случаев прибавить и вычесть 2, 3, 4.

3) Изучение приема перестановки слагаемых для случаев прибавить 5, 6, 7, 8, 9. Таблица сложения и состав чисел из слагаемых,

4) Изучение приема вычитания на основе знания связи между суммой и слагаемыми для случаев вычесть 5, 6, 7, 8, 9.

На специально отведенном уроке приводят в систему все изученные случаи а±1, под руководством учителя дети составляют таблицы «прибавить 1» и «вычесть 1» и затем заучивают их наизусть.

На втором этапе рассматривают случаи сложения и вычитания вида: а±2, а±3, а±4, результаты которых находятся присчитыванием или отсчитыванием.

Чтобы подчеркнуть, с одной стороны, сходство вычислительных приемов, а с другой стороны, противоположный характер действий сложения и вычитания, случаи «прибавить 2» и «вычесть 2» так же, как позднее случаи «прибавить 3» и «вычесть 3», затем «прибавить 4» и «вычесть 4», изучаются одновременно в сопоставлении друг с другом.

На уроке по ознакомлению с новыми приемами вычислений вначале так же выполняют несколько подготовительных упражнений: дети решают примеры (8 + 1 + 1, 9 – 1 – 1 и т. п.) с пояснением каждого примера.

Для приемов а ± 4 запись может быть такой же, но целесообразнее начать записывать по-другому: 5 + 4 = 5 + 2 + 2 = 9, ]0 – 4 = 10 – 2 – 2 = 6.

Такие записи готовят детей к изучению свойств действий, тождественным преобразованиям выражений, обоснованию вычислительных приемов сложения и вычитания в пределах 100.

С целью выработки навыков включаются устные упражнения (устный счет, игры «молчанка», «эстафета», «лесенка», «круговые примеры» и др.). Очень полезны арифметические диктанты – устные вычисления с показом ответов разрезными цифрами или записью ответов в тетрадях. Выполняются также разнообразные письменные упражнения в решении примеров и задач. Особенно ценны упражнения с элементами творчества, догадки: составить примеры, задачи, исправить неверно решенные примеры, вставить пропущенное число или знак действия в примерах:

□ – 3 = 7, 8 – □ = 6, 8 + □ = 10;

6 * 4 = 10, 6 * 4 = 2.

Завершающим моментом в работе над каждым из приемов а±2, а±3, а±4 является составление и заучивание таблиц.

2 + 2 = 4 4 = 2 + 2 4 – 2 = 2

3 + 2 = 5 5 = 3 + 2 5 – 2 = 3

4 + 2 = 6 6 = 4 + 2 6 – 2 = 4

… … …

8 + 2 = 10 10 = 8 + 2 10 – 2 = 8

На третьем этапе изучают прием сложения для случаев «прибавить 5, 6, 7, 8, 9».

При сложении в пределах 10 в этих примерах второе слагаемое больше первого (1 + 9, 2 + 7, 3 + 5, 4 + 6 и т.п.).

Если при вычислениях применить перестановку слагаемых, то все эти случаи сведутся к ранее изученным видам: а + 1, а + 2, а + 3, а + 4.

На данном этапе целесообразно раскрыть СУТЬ переместительного свойства сложения (на примере тяжелых мешков).

В процессе упражнений у детей формируется умение применять прием перестановки слагаемых. После этого составляется краткая таблица сложения в пределах 10, зная которую можно решать все примеры на сложение в пределах первого десятка:

2 + 2 = 4

3 + 2 = 5

4 + 2 = 6 3 + 3 = 6

5 + 2 = 7 4 + 3 = 7

6 + 2 = 8 5 + 3 = 8 4 + 4 = 8

7 + 2 = 9 6 + 3 = 9 5 + 4 = 9

8 + 2 = 10 7 + 3 = 10 5 + 5 = 10

Рассмотрев таблицу, дети сами могут пояснить, почему включены только эти случаи и почему не включены остальные.

На данном этапе продолжается работа над усвоением состава чисел из слагаемых.

15. Методика изучения письменного алгоритма сложения.

Письменные приемы сложения и вычитания в пределах 1000 раскрываются вслед за устными приемами. Усвоение письменных приемов сложения и вычитания трехзначных чисел является условием успешного применения их к числам любой величины.

Сначала изучают письменные приемы сложения, а затем вычитания.

При сложении столбиком используется правило сложения суммы с суммой. Это правило повторяют перед тем, как ознакомить детей с письменным приемом сложения. Для этого решают примеры вида:

(8 + 7) + (2 + 3) или (20 + 4) и (10+6).

Учащиеся вспоминают, как можно по-разному вычислить результат.

Затем правило применяется к сложению сумм нескольких слагаемых с числами в пределах 1000, например:

(300 + 40 + 5) + (200 + 20 + 4) = (300 + 200) + (40 + 20) + (5 + 4) = 569

(300 + 40 + 5) + (200 + 4) = (300 + 200) +40+ (5 + 4) =549

(300 + 40 + 5) + (20 + 4) = 300+ (40 + 20) + (5 + 4) =369

Решив несколько таких примеров, дети замечают, что удобнее складывать сотни с сотнями, десятки с десятками, единицы с единицами. При этом полезно установить, какие числа складывали (345 и 224, 345 и 204, 345 и 24).

Такой подготовительной работы вполне достаточно, чтобы ввести общеизвестную запись письменного приема сложения столбиком. Учащиеся понимают целесообразность такой записи — сложение при этом выполняется быстро, так как промежуточные результаты записываются по мере их получения каждый на своем месте.

Письменное сложение изучается в таком порядке:

1) случаи, где сумма единиц и сумма десятков меньше 10;

2) случаи, где сумма единиц или сумма десятков (либо и та, и другая) равны 10;

3) случаи, где сумма единиц или сумма десятков (либо и та, и другая) больше 10.

Прежде всего, решаются примеры на сложение без перехода через десяток: 232 + 347, 235 + 43. Учащиеся решают их сначала устно с подробной записью в строчку приема вычисления, затем учитель показывает запись этих примеров в столбик, поясняя: числа записывают так, чтобы единицы второго числа были под единицами первого, десятки под десятками, сотни под сотнями. Дается объяснение приема сложения:

К 2 единицам прибавим 7 единиц, получится 9 единиц.

Записываем 9 в сумме под чертой на месте единиц;

к 3 десяткам прибавим 4 десятка, получится 7 десятков.

На месте десятков в сумме пишем 7.

К двум сотням прибавим 3 сотни, получится 5 сотен.

На месте сотен в сумме пишем 5. Сумма равна 579.

+

Дети упражняются в записи и объяснении решений примеров, запоминают, что сложение в столбик начинают с единиц.

При решении примеров вида 427+133, 363 + 245, 236 + 464 легко показать, почему письменное сложение следует начинать не с высших разрядов, как устное сложение, а с единиц I разряда: пусть дети решат один из примеров (457 + 243), начиная сложение с сотен — они сами убедятся в неудобстве такой последовательности вычисления, поскольку цифру сотен и десятков придется исправлять.

Перед решением примеров на сложение с переходом через десяток необходимо повторить таблицу сложения и включить подготовительные упражнения вида: 8 ед. + 6 ед., 6 дес + 7 дес. и т.п., в которых требуется выразить результат в более крупных единицах. Так же, как и на предыдущем этапе, сначала примеры решаются с подробным объяснением:

- к 4 единицам прибавим 8 единиц,

- получится 12 единиц, или 1 десяток и 2 единицы.

- 2 единицы пишем под единицами, а один десяток прибавим к десяткам и т.д.

Постепенно надо перейти к краткому пояснению: 4 да 8 — двенадцать, 2 пишу, I запоминаю; 4 да 1 — пять, да еще 1 — шесть, 6 пишу; 5 и 2 — семь, всего 762. Подробного пояснения требуют от ученика, если он допустил ошибку.

На заключительных уроках изучения письменного сложения учащиеся знакомятся с формой записи и рассуждением при сложении нескольких слагаемых.

Помимо усвоения учащимися приема выполнения письменного сложения, на всех этапах изучения данной темы необходимо добиваться выработки навыка быстрых и правильных вычислений. С этой целью включают в достаточном количестве разнообразные упражнения: решение примеров, задач, уравнений и др.

Чтобы учащиеся наряду с письменными упражнялись в устных вычислениях, полезно давать такие задания: «Записывайте решения примеров столбиком только тогда, когда устно решить трудно (например: 610 + 290, 638 + 294, 605 + 295)».

16. Методика изучения письменного алгоритма вычитания.

Работа над письменными приемами вычитания строится аналогично. Сначала рассматривают правило вычитания суммы из суммы, а затем раскрывают прием письменного вычитания. Первыми вводятся самые легкие случаи вычитания вида: 563 – 321. Детям предлагается вычислить результат устно и выполнить подробную запись приема вычисления:

563 – 321 = (500 + 60 + 3) – (300 + 20+1) = (500 – 300) + (60 – 20) + (3 – 1) = 242

Они сами догадываются, что проще и быстрее найти результат, если записать пример столбиком, как при сложении.

На первых порах вычитание выполняется с подробным пояснением, затем вводятся краткие пояснения.

Далее рассматривают случаи вычитания чисел с нулями в середине или на конце (547 – 304, 547 – 340, 507 – 304).

Перед их включением целесообразно повторить действия с нулем (5 + 0, 5 – 0, 0 – 0, 7 – 0 – 0, 0: 9 + 0 и т.п.).

Следующими рассматриваются случаи вида: 540 – 126 и 603 – 281.

Предварительно нужно повторить соотношение между разрядными единицами.

Сколько единиц в 1 десятке?

Сколько десятков в 1 сотне?

Сначала решение примеров сопровождается подробным пояснением:

Из нуля не можем вычесть 6 единиц.

Берем из 4 десятков 1 десяток. Чтобы не забыть об этом, ставим точку над цифрой 4.

В 1 десятке 10 единиц. Из 10 вычтем 6 единиц, получится 4 единицы.

Запишем ответ под единицами.

Из 3 десятков вычтем 2 десятка, получится 1 десяток и т.д.

–

Аналогично объясняется решение примера 603 – 281, когда приходится «занимать» 1 сотню, раздроблять ее в десятки и вычитать 8 десятков из 10 десятков. Точка над цифрой сотен (6) показывает, что уже взяли одну сотню и осталось 5 сотен.

Затем вводятся примеры вида: 875 — 528, 628 — 365 и, наконец, примеры вида: 831—369.

Во всех этих примерах приходится «занимать» (один или два раза) единицу соседнего высшего разряда. В качестве подготовительных упражнений полезно повторить табличные случаи вычитания и включить такие устные задания, как 1 дес. 6 ед. —7 ед., 1 сот. 5 дес. – 8 дес. и т.п. Следует также повторить:

- соотношение разрядных единиц и

- преобразование единиц высших разрядов в единицы соседних низших разрядов.

Решая пример 875 – 528, ученик рассуждает так:

–

- из 5 единиц не можем вычесть 8 единиц;

- берем 1 десяток из 7 десятков (ставим точку над цифрой 7);

- 1 дес. и 5 ед.— это 15 единиц,

- из 15 единиц вычтем 8 единиц, получится 7 единиц,

- записываем ответ под единицами и т.д.

На одном из подобных примеров можно пояснить, почему удобнее письменное вычитание начинать с единиц.

Наиболее трудным является решение примеров вида:

900 – 547, 906 — 547, 1000-456, которые рассматриваются в III классе.

Затруднения здесь возникают в связи с тем, что преобразование одних разрядных единиц в другие приходится выполнять несколько раз ( 1000 – 456, так как единиц, десятков и сотен нет, берем 1 тысячу, раздробляем ее в сотни, получаем 10 сотен; из 10 сотен берем одну сотню — ставим точку и запоминаем, что осталось 9 сотен; 1 сотню раздробляем в десятки, получаем 10 десятков и т. д.). Можно еще раз обратиться к наглядным пособиям (квадратам или счетам) и показать, что 1 сотня — это 9 десятков и 10 единиц, 1 тысяча — это 9 сотен, 9 десятков и 10 единиц.

Для выработки вычислительных навыков на каждом этапе изучения вычитания необходимо давать достаточное количество упражнений тренировочного характера. В процессе выполнения этих упражнений рассуждения учащихся должны становиться более краткими, а вычисления выполняться быстрее.

Примеры упражнений:

1) решите примеры на сложение и проверьте их вычитанием;

2) решите примеры на вычитание и проверьте их вычитанием;

3) решите в столбик только те из данных примеров, которые устно решить трудно;

4) объясните ошибки, допущенные при письменном решении
данных примеров;

5) вставьте пропущенные цифры:

_252 _625 _857 _865

18.1...2.2.7

..4.23 6.8 658

6) решите данные примеры, установите, чем похожи приемы вычислений в каждом столбике, составьте к каждому столбику и решите еще 2 (3, 4) подобных примера:

567 – 209 478 – 89 538 – 229

684 – 406 234 – 65 465 – 156

395 – 107 356 – 78 644 – 335

Позднее включаются упражнения с равенствами, неравенствами, уравнениями, в которых приходится применять письменные вычисления.

17. Методика изучения письменного алгоритма умножения (1 этап).

Переход от устного умножения к письменному необходимо построить так, чтобы учащиеся поняли, что сущность вычислительного приема как при устном, так и при письменном умножении на однозначное число одна и та же: в обоих случаях используется свойство умножения суммы на число, но письменное умножение начинается с низших разрядов, устное — с высших. Кроме того, дети должны осознать, что к письменному умножению обращаются в том случае, когда устно вычислять трудно.