Собственные числа и собственные векторы матрицы

Определение 1.3. Вектор х называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: А х = λ х, то есть результатом применения к х линейного преобразования, задаваемого матрицей А, является умножение этого вектора на число λ. Само число λ называется собственным числом матрицы А.

Подставив в формулы (1.3) x`_j = λx_j, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

.

Отсюда

. (1.5)

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел λ, называемое характеристическим уравнением. Кратко его можно представить так:

| A - λE | = 0, (1.6)

поскольку в его левой части стоит определитель матрицы А-λЕ. Многочлен относительно λ | A - λE | называется характеристическим многочленом матрицы А.

Свойства характеристического многочлена:

1) Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от выбора базиса.

Доказательство. (см. (1.4)), но следовательно, . Таким образом, не зависит от выбора базиса. Значит, и | A-λE | не изменяется при переходе к новому базису.

2) Если матрица А линейного преобразования является симметрической (т.е. а_ij=a_ji), то все корни характеристического уравнения (1.6) – действительные числа.

Свойства собственных чисел и собственных векторов:

1) Если выбрать базис из собственных векторов х₁, х₂, х₃, соответствующих собственным значениям λ₁, λ₂, λ₃ матрицы А, то в этом базисе линейное преобразование А имеет матрицу диагонального вида:

(1.7)

Доказательство этого свойства следует из определения собственных векторов.

2) Если собственные значения преобразования А различны, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

3) Если характеристический многочлен матрицы А имеет три различных корня, то в некотором базисе матрица А имеет диагональный вид.

, откуда х ₍₂₎ ={ b,-b,b } или, при условии | x ₍₂₎ |=1, x ₍₂₎ =

Для λ ₃ = 6 найдем собственный вектор x ₍₃₎ ={ z₁, z₂, z₃ }:

, x ₍₃₎ ={ c, 2c,c } или в нормированном варианте

х ₍₃₎ = Можно заметить, что х ₍₁₎ х ₍₂₎ = ab – ab = 0, x ₍₁₎ x ₍₃₎ = ac – ac = 0, x ₍₂₎ x ₍₃₎ = bc - 2 bc + bc = 0. Таким образом, собственные векторы этой матрицы попарно ортогональны.

Пусть заданы два подпространства -мерного пространства . Обозначим их и .

Определение 1.8 Если каждый вектор пространства можно, и притом единственным образом, представить как сумму двух векторов

где , а , то говорят, что пространство разложено в прямую сумму подпространств и .

Это обычно записывают так:

Теорема 1.3 Для того чтобы пространство разлагалось в прямую сумму подпространств и , достаточно, чтобы:

1. Подпространства и имели только один общий вектор (нулевой вектор).

2. Сумма размерностей этих подпространств была равна размерности пространства .

Доказательство. Выберем некоторый базис в подпространстве и базис в подпространстве . Поскольку сумма размерностей и есть , то общее число этих векторов .

Покажем, что векторы

линейно независимы, т.е. образуют базис пространства . Действительно, пусть

отсюда

Левая часть этого равенства есть вектор из , а правая из . Так как, по условию, единственный общий вектор и есть нулевой вектор, то

Но каждый из наборов и состоит из линейно независимых векторов, так как это базисы в и . Поэтому из первого равенства (10) следует, что

а из второго следует, что

Следовательно, система состоит из линейно независимых векторов, т.е. это есть базис в пространстве .

Мы доказали, что при выполнении условий теоремы существует базис, первые векторов которого образуют базис в , а последние -- базис в .

Произвольный вектор из можно разложить по векторам этого базиса

При этом

и

Таким образом,

где и . Покажем, что это разложение единственно. Предположим, что существуют два разложения:

где

и

где

Вычитая второе равенство из первого, получаем:

откуда

Так как вектор, стоящий в левой части равенства, принадлежит , а вектор, стоящий в правой части, принадлежит , то каждый из этих векторов равен нулю, т.е.

Единственность разложения доказана.