Преобразование матрицы линейного преобразования при переходе к новому базису

Рассмотрим линейное преобразование А и два базиса в трехмерном пространстве: е₁, е₂, е₃ и е ₁, е ₂, е _{3 .} Пусть матрица С задает формулы перехода от базиса { e _k } к базису { e _k }. Если в первом из этих базисов выбранное линейное преобразование задается матрицей А, а во втором – матрицей А, то можно найти связь между этими матрицами, а именно:

А = С^-1 А С (1.4)

Действительно, , тогда А . С другой стороны, результаты применения одного и того же линейного преобразования А в базисе { e _k }, т.е. , и в базисе { e _k }: соответственно - связаны матрицей С: , откуда следует, что СА= А С. Умножая обе части этого равенства слева на С ^-1, получим С ^{- 1} СА = = С ^-1 А С, что доказывает справедливость формулы (1.4).