Независимость вида неопределенного интеграла от выбора аргумента. Примеры

Пусть х - независимая переменная, а f(х) - непрерывная функция на данном промежутке, F(x) - ее первообразная, то есть F^/(x)=f(x). Имеем

. (2.1)

Положим теперь u = j(x), где опять предположим, что j^/(х) - непрерывна, то есть j(х) - непрерывно-дифференцируемая функция.

Рассмотрим

. (2.2)

В таком случае сложная функция

F(u)=F(j(x)) является первообразной для подинтегральной функции интеграла (2.2)

dF(u) = F^/(u)du = f(u)du (2.3)

и, следовательно,

. (2.4)

Поэтому

,

где F^/(u)=f(u).

Таким образом, из справедливости (2.1) следует (2.4). На основании этого получаем обобщенную таблицу простейших интегралов.

(m¹-1)

и т.д., где u - любая непрерывная дифференцируемая функция.

И тогда мы можем значительно расширить таблицу простейших интегралов.

Пример: Пусть

.

а) заменим х на Sinx, получим

, то есть

.

б) заменим х на lnх

или

.

Теперь понятно, почему важно уметь проводить f(x)dx=g(u)du, где u есть некоторая функция от х и g - функция, более простая для интегрирования, чем f.

Отметим несколько преобразований, полезных в дальнейшем:

1. dx = d(x + b), b = const

2. , a- const ¹ 0

3. , a,b – const ¹ 0

4.

5.

6.

7. j^/(x)dx = dj(x) (*)