Зоны Френеля

Как следует из принципа Гюйгенса- Френеля комплексная амплитуда волны в точке наблюдения (рис. 5.4), создаваемая источником монохроматической электромагнитной волны в точке , может быть найдена как суперпозиция комплексных амплитуд сферических волн, испускаемых вторичными источниками на произвольной замкнутой поверхности , охватывающей точку в соответствии с выражением (5.1). Пусть сферическая поверхность радиуса c центром в точке . Тогда поле в точке наблюдения можно представить суммой полей , доставляемых электромагнитной волной от бесконечного множества шаровых сегментов (рис. 5.10):

.	(5.5)

Рассмотрим 'механизм' формирования значения поля последовательно, начиная от центрального шарового сегмента, центр которого пересекается прямой, соединяющей точки и (рис. 5.10). Приближённо на первом этапе рассуждений можно полагать, что амплитуды волн от соседних шаровых сегментов равны. Однако фазы этих волн отличаются из-за того, что волны проходят разный путь, тем больший, чем дальше рассматриваемый сегмент расположен от центрального (рис. 5.10). В первом приближении, можно полагать, что фаза меняется линейно в зависимости от пройденного волной расстояния от соответствующего шарового сегмента. По этой причине комплексная амплитуда , определяемая (5.5), представляет собой сумму бесконечно большого количества комплексных векторов одинаковой амплитуды, но повёрнутых по отношению к соседнему на одинаковый, бесконечно малый угол. На рис. 5.11a показано в виде комплексного вектора значение , соответствующее такой части поверхности , когда малые шаровые сегменты создают в точке наблюдения поле, фаза которого отличается на 180^о от фазы волны центрального сегмента. Рассмотренная часть поверхности волнового фронта получила название первой зоны Френеля. Границей, отделяющей первую зону Френеля от остальной части поверхности волнового фронта , является окружность, в каждой точке которой фаза волн, приходящих в точку наблюдения , отличается на 180^о от фазы волны центрального сегмента.

Обратим внимание, что комплексная амплитуда поля, создаваемая первой зоной Френеля, определяется вектором, обозначаемым и совпадающим с диаметром полуокружности, к которой стремится в пределе годограф кривой, представляющей сумму полей, создаваемых бесконечно малыми шаровыми сегментами. Фаза волны, создаваемой первой зоной Френеля, как следует из рис. 5.11a, отстаёт на 90^о от фазы волны , создаваемой центральным сегментом.

Если подвергнуть поверхность дальнейшему разбиению на зоны, то получим вторую зону Френеля (рис. 5.12), граничащую с первой зоной и отделённую от остальной части поверхности окружностью, в каждой точке которой фаза волн, приходящих в точку наблюдения отличается на 180^о от фазы волн от границы с первой зоной Френеля. Можно заметить, что волны от второй зоны Френеля уменьшают комплексную амплитуду волн, создаваемых первой зоной Френеля, ввиду их противофазного сложения. В первом приближении, если не учитывать убывание амплитуды сферических волн обратно пропорционально расстоянию, сумма волн от первой и второй зон Френеля равна нулю. Но на самом деле, сумма волн, создаваемых первой и второй зоной Френеля хотя и имеет малую величину, но не равна нулю. Поэтому характер годографа волн, создаваемых первой и второй зоной Френеля, в пределе представляет часть некоторой спирали (рис. 5.11b).

Аналогичным образом продолжая разбиение поверхности на зоны, т.е. рассматривая третью, четвёртую и т.д. зоны Френеля (рис. 5.12), получим, что соседние чётные и нечётные зоны Френеля ослабляют поля, создаваемые каждой, и вместе образуют годограф, определяющий в пределе величину поля источника в точке наблюдения, в виде некоторой спирали (рис. 5. 11c).

Границам зон Френеля на спирали соответствуют диаметрально противоположные точки её витков (рис. 5.11c), каждой из которых, соответствуют определяющие её границы радиус на поверхности . Так, граница - ой зоны Френеля () отстоит от прямой (рис. 5.12) на расстоянии , называемом радиусом - ой зоны Френеля. Найдём радиус - ой зоны Френеля. Как следует из геометрических соображений (рис. 5.13a):

(5.6a)

где - расстояние вдоль прямой от источника до центра волнового фронта; - расстояние вдоль прямой от центра волнового фронта до точки наблюдения.

Из (5.6a), пренебрегая , для не очень больших найдём :

.

(5.6b)

С помощью этого соотношения из (5.6а) найдём

	(5.6c)

В частном случае бесконечно удалённого источника от точки наблюдения () волновой фронт является плоскостью и

.

(5.6d)

Характерной особенностью спирали (рис. 5.11c) является положение фокуса этой кривой, на который она 'наматывается' при бесконечно большом числе зон Френеля. Покажем, что фокус располагается в центре полуокружности первого витка спирали (рис. 5.11c), т.е. величина, поля создаваемого первой зоной Френеля, в два раза больше величины поля, создаваемой источником в точке наблюдения .

Действительно, пусть - комплексные амплитуды, создаваемые первой, второй и т.д. зонами Френеля. Тогда искомая комплексная амплитуда в точке , создаваемая всеми зонами Френеля в точке наблюдения, равна

.

(5.7)

Как было отмечено выше, можно считать, что вклады от соседних зон примерно равны и их величины монотонно уменьшаются. По этой причине можно считать выражения в скобках в (5.7) равными нулю, т. е. имеет место равенство для любого :

.

Тогда из выражения (5.7) получим:

.

(5.8)

Учитывая, что интенсивность волны пропорциональна квадрату модуля электромагнитных векторов, можно заключить, что интенсивность поля , создаваемого первой зоной Френеля, в четыре раза больше интенсивности волны источника в точке наблюдения, создаваемой всеми вторичными источниками на поверхности :

(5.9)

Четырёхкратное уменьшение интенсивности волны, создаваемой первой зоной Френеля, по отношению к интенсивности волны, создаваемой источником в точке наблюдения, связано с упомянутым выше противофазным вычитанием волн от различных зон Френеля на поверхности волнового фронта.

Приближённо, не принимая во внимание уменьшение интенсивности сферической волны с расстоянием, которое она проходит, в расчётах можно полагать, что величиной (5.9) определяется интенсивность волны, создаваемой каждой из зон Френеля, близкой к первой. Это является следствием равенства площадей зон Френеля, соответствующих различным значениям m. Действительно, принимая во внимание (рис. 5.13), находим площадь сферического сегмента радиуса и высоты

,

(5.10a)

и получаем, что площадь - ой зоны Френеля :

,

(5.10b)

не зависит от .

Разбиение волнового фронта электромагнитной волны на зоны Френеля широко используется для решения различных оптических задач.

Дифракция на круглом отверстии. Сферическая волна, распространяющаяся из точечного источника S, встречает на своем пути экран с круглым отверстием. Дифракционную картину наблюдаем на экране Э в точке В, лежащей на линии, соединяющей S с центром отверстия (рис. 259). Экран параллелен плоскости отверстия и находится от него на расстоянии b. Разобьем открытую часть волновой поверхности Ф на зоны Френеля. Вид дифракционной картины зависит от числа зон Френеля, открываемых отверстием. Амплитуда результирующего колебания, возбуждаемого в точке В всеми зонами (см. (177.1) и (177.6)),

где знак плюс соответствует нечетным m и минус — четным т.

Когда отверстие открывает нечетное число зон Френеля, то амплитуда (интенсив­ность) в точке В будет больше, чем при свободном распространении волны; если четное, то амплитуда (интенсивность) будет равна нулю. Если отверстие открывает одну зону Френеля, то в точке В амплитуда А=А ₁, т. е. вдвое больше, чем в отсутствие непрозрачного экрана с отверстием. Интенсивность света больше соответственно в четыре раза. Если отверстие открывает две зоны Френеля, то их действия в точке В практически уничтожат друг друга из-за интерференции. Таким образом, дифракционная картина от круглого отверстия вблизи точки В будет иметь вид чередующихся темных и светлых колец с центрами в точке В (если т четное, то в центре будет темное кольцо, если m нечетное — то светлое кольцо), причем интенсивность в максимумах убывает с расстоянием от центра картины.

Расчет амплитуды результирующего колебания на внеосевых участках экрана более сложен, так как соответствующие им зоны Френеля частично перекрываются непроз­рачным экраном. Если отверстие освещается не монохроматическим, а белым светом, то кольца окрашены.

Число зон Френеля, открываемых отверстием, зависит от его диаметра. Если он большой, то А_m << A ₁ и результирующая амплитуда A=A ₁ / 2, т. е. такая же,как и при полностью открытом волновом фронте. Никакой дифракционной картины не наблю­дается, свет распространяется,как и в отсутствие круглого отверстия, прямолинейно.

Итак, рассмотрим падение плоской волны на круглое отверстие и проанализируем, как зависит от радиуса отверстия амплитуда суммарных колебаний в точке наблюдения.

L r =r/bq   b 2/q P

Из рисунка видно, что разность хода лучей от края кольца радиуса r и от центра отверстия

.

Поэтому от кольца с радиусом r колебания будут приходить с запаздыванием по фазе на

.

С помощью векторной диаграммы мы будем складывать колебания, r. СоответствующиеDприходящие в точку наблюдения от тонких колечек толщиной векторы на фазовой диаграмме будут повернуты по отношению друг к другу на угол

p=j jD

.

При достаточно большом радиусе будет

.

Соответствующий радиус r1 называется (внешним) радиусом первой jзоны Френеля. При дальнейшем увеличении радиуса, естественно, величина мы получаем выражениеpk=jбудет увеличиваться. Из условия для радиуса k-й зоны Френеля:

; .

E0

Мы уже достаточно много работали с векторными диаграммами, и должно быть понятно, что при дальнейшем увеличении радиуса отверстия (по сравнению с r1) амплитуда суммарных колебаний в точке наблюдения, пропорциональная длине отрезка (вектора), соединяющего начало и конец дуги, будет уменьшаться. Она достигнет минимума, когда радиус отверстия достигнет внешнего радиуса второй зоны Френеля. Но в отличии от задачи о колебаниях волны, излучаемой щелью при дифракции Фраунгофера, дуга не замкнется в окружность, мы получим некоторую скручивающуюся спираль. Длина вектора, проведенного от начала к центру спирали, дает, очевидно, амплитуду падающей волны - скручивание спирали к центру соответствует бесконечно большому радиуса отверстия, когда дифракция не наблюдается.

Подобная спираль, которую называют спиралью Френеля, получается и в том случае, когда на отверстие падает сферическая волна конечного радиуса a. Выражение для радиусов зон Френеля в этом случае, естественно, иное.