Гармонические колебания: возвращающая сила и энергия колебаний. Необходимое условие гармонических колебаний

При механических колебаниях колеблющееся тело (или материальная точка) обладает кинетической и потенциальной энергией. Кинетическая энергия тела W:

(Скорость тела v = ds/dt)

Для вычисления потенциальной энергии тела воспользуемся самой общей формулой, связывающей силу и потенциальную энергию тела в поле этой силы:

где U - потенциальная энергия, набираемая (или теряемая) телом, движущимся в силовом поле F от точки 0 (точки, в которой потенциальная энергия принимается равной 0) до точки х.

Для силы, линейно зависящей от смещения (как в случае наших механических маятников, такие силы носят общее название квазиупругих сил) мы имеем:

Сравнивая формулы

для кинетической и потенциальной энергии механического маятника, можно сделать следующие выводы:

1. Полная механическая энергия тела не изменяется при колебаниях:
2. Частота колебаний кинетической и потенциальной энергии в 2 раза больше частоты колебаний маятника.
3. Колебания кинетической и потенциальной энергии сдвинуты друг относительно друга по фазе на p (на полпериода). Когда кинетическая энергия достигает максимума, потенциальная - минимума (нуля) и наоборот. Энергия при колебаниях постоянно перекачивается из потенциальной в кинетическую и обратно.

В случае электрических колебаний энергия в конуре представляет собой сумму энергии электрического поля, запасенной между обкладками конденсатора, и энергии магнитного поля, запасенной в катушке с индуктивностью. Вычислим обе составляющие.

Сравнивая эти формулы, можно сделать следующие выводы:

1. Полная энергия в контуре остается неизменной:

2. Частота колебаний энергий в 2 раза превосходит частоту колебаний заряда и тока в контуре.
3. Электрическая и магнитная энергии сдвинуты по фазе на полпериода друг относительно друга; происходит непрерывное перекачивание энергии из одной формы в другую и обратно.

Поскольку в контуре происходят колебания электрической и магнитной энергий, электрический колебательный контур также называют электромагнитным.

Тело совершает гармонические колебания, если сила, возвращающая его в положение равновесия, пропорциональна смещению и направлена в противоположную этому смещению сторону. Такая сила называется квазиупругой.

На практике зависимость F(x) является более сложной. Однако, при малых значениях величины х эту функцию можно разложить в ряд:

| F (x)| = k·x + k₁·x² + k₂·x³ +...

и пренебречь слагаемыми более высокого, чем 1 порядка малости. Следовательно, любая система с одной степенью свободы при достаточно малом отклонении от положения равновесия будет гармонически колебаться.

При максимальном отклонении грузика от положения равновесия вся энергия системы сосредоточена в потенциальной, и поэтому полная энергия колеблющейся системы может быть выражена через амплитуду колебаний и частоту:

E = kx_max²/2 = kA²/2 = mω²A²/2

Оказывается, этим свойстром обладают любые системы, колебание в которых происходит по гармоническому закону: энергия гармонического колебания (или волны) пропорциональна квадрату амплитуды этого колебания.

Единственным условием возникновения гармонических колебаний в рассмотренной системе оказалась линейная зависимость возвращающей силы от смещения. Такое условие выполняется при колебаниях многих (и не только механических) систем: это и малые колебания тела на длинной нерастяжимой нити в поле тяжести Земли (математический маятник), и колебания молекул, и электрические колебания в LC-контуре. Каждая из этих систем, обладающая свойством линейного возрастания возвращающей силы по мере удаления системы от положения равновесия, носит название линейного осциллятора (слово «осциллятор» происходит от латинского глагола, означающего «качаться»).