Полигон и гистограмма. Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму

Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (x ₁, n ₁), (х ₂; n ₂),..., (x_k; n_k). Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат - соответствующие им частоты n_j. Точки (x_i; п_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки (х ₁; W ₁), (x ₂; W ₂),..., (x_k; W_k). Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты x_i а на оси ординат- соответствующие им относительные частоты W_i. Точки (x_i; W_i) соединяют отрезками прямых и получают полигон относительных частот.

На рис. 20 изображен полигон относительных частот следующего распределения:

X 1,5 3,5 5,5 7,5

W 0,1 0,2 0,4 0,3

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной h и находят для каждого частичного интервала n_i - сумму частот вариант, попавших в i- й интервал.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению n_i/h (плотность частоты).

Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии n_i/h.

Площадь i -гo частичного прямоугольника равна hn_i/h=n_i - сумме частот вариант i -гo интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т. е. объему выборки.

На рис. 21 изображена гистограмма частот распределения объема n = 100, приведенного в табл. 6.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною h, а высоты равны отношению W_i/h (плотность относительной частоты).

Таблица 6

Частичный интервал длиною h=5	Сумма частот вариант частичного интервала пi.	Плотность частоты ni/h
5—10		0.8
10—15		1,2
15—20		3,2
20—25		7,2
25—30		4,8
30—35		2,0
35—40		0,8

Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии W_i/h. Площадь 1-го частичного прямоугольника равна hW_i/h=W_i - относительной частоте вариант, попавших в 1-й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, т. е. единице.

31 Распределение «хи квадрат»

Пусть X_i (i = 1, 2 ,..., п) — нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожиданиекаждой из них равно нулю, а среднее квадратическоеотклонение—единице. Тогда сумма квадратов этих величин

распределена по закону («хи квадрат») с k = п степенями свободы; если же эти величины связаны одним линейным соотношением, например , то число степеней свободы k=n- 1.

Плотность этого распределения

где — гамма-функция; в частности,

(n+ 1) =n!.

Отсюда видно, что распределение «хи квадрат» определяется одним параметром — числом степеней свободы k.

С увеличением числа степеней свободы распределение медленно приближается к нормальному.

32 Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину.

Каждую из величин X и Y называют составляющей (компонентой); обе величины X и Y, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин. Аналогично n-мерную величину можно рассматривать как систему п случайных величин. Например, трехмерная величина (X, Y, Z) определяет систему трех случайных величин X, Y и Z.