Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Признак Лейбница (достаточный признак сходимости знакочередующихся рядов) Ряд сходится, если:
.

Знакопеременный ряд называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд . Если ряд сходится, а ряд расходится, то ряд называют сходящимся условно.
Очевидно, что если ряд сходится, то ряд также сходится. Обратное утверждение в общем случае неверно.

66. При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме [править]

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если — расходится.

Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

Доказательство [править]

1. , тогда существует , существует , для любого .
Ряд из сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из сходится (по признаку сравнения).

2. , тогда существует . для любого . Тогда не стремится к нулю и ряд расходится

66. Определение 3. Ряд называется знакочередующимся, если он имеет вид: