Свойства сходящихся числовых рядов. 1. Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд

1. Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.

2. Если сходится числовой ряд и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд , причем , где A – произвольная постоянная.

3. Если сходятся числовые ряды и , их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды и , причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда .

Решение.

Запишем ряд в другом виде . Числовой ряд сходится, так как обобщенно гармонический ряд является сходящимся при s > 1, а в силу второго свойства сходящихся числовых рядов будет сходится и ряд с числовым коэффициентом .

Пример.

Сходится ли числовой ряд .

Решение.

Преобразуем исходный ряд: . Таким образом, мы получили сумму двух числовых рядов и , причем каждый из них сходится (смотрите предыдущий пример). Следовательно, в силу третьего свойства сходящихся числовых рядов, сходится и исходный ряд.

Пример.

Докажите сходимость числового ряда и вычислите его сумму.

Решение.

Данный числовой ряд можно представить в виде разности двух рядов:

Каждый из этих рядов представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, следовательно, является сходящимся. Третье свойство сходящихся рядов позволяет утверждать, что исходный числовой ряд сходится. Вычислим его сумму.

Первый член ряда есть единица, а знаменатель соответствующей геометрической прогрессии равен 0.5, следовательно, .

Первым членом ряда является 3, а знаменатель соответствующей бесконечно убывающей геометрической прогрессии равен 1/3, поэтому .

Воспользуемся полученными результатами для нахождения суммы исходного числового ряда:

64. ризнаки сходимости числовых рядов

Необходимый признак сходимости числового ряда:
Если ряд сходится, то .

Данный признак означает, что если , то ряд расходится. Например, расходится, так как . Из выполнения условия в общем случае не следует сходимость ряда . Например, для ряда (гармонический ряд), условие выполнено, но данный ряд расходится.