Решение систем линейных уравнений

Система т линейных уравнений с п неизвестными (или ли­нейная система) в линейной алгебре — это система уравнений вида:

Здесь x₁, х₂,..., х_n - неизвестные, которые надо определить; a₁₁, a₁₂,..., а_тп - коэффициенты системы; b₁, b₂,... b_т - свобод­ные члены (предполагаются известными). Индексы коэффици­ентов а_ij системы обозначают номера уравнения (i) и неизвест­ного (j), при котором стоит этот коэффициент.

Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных, имеет много разных вычислительных схем. Рассмотрим схему единственного деления, алгоритм которого состоит в следующем.

Прямой ход: путем элементарных преобразований строк (делением элементов строки на число, вычитание из одной строки другой строки, умноженной на число) матрица системы приводится к верхнетреугольному виду.

С этого момента начинается обратный ход. Из последнего ненулевого уравнения выражаем переменную через другие и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех переменных, получаем решение [1, с. 111].

Реализуем данный алгоритм для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными средствами MS Еxcel (расчетные формулы: рисунок 1, таблица значений: рисунок 2).

Метод Крамера (правило Крамера) - способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненуле­вым определителем основной матрицы (причем для таких уравнений решение существует и оно единственно).

Описание метода. Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы А, отличным от нуля, решение записывается в виде

где

(i-й столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов).

Пусть дана система линейных уравнений с тремя неизвест­ными:

Если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет решение, притом единствен­ное. Решение системы определяется формулами

где х₁, х₂, х₃ - корни системы уравнений; Δ - главный определитель системы; Δ х₁, Δ х₂, Δ х₃ - вспомогательные определители [1, с. 125].

Средствами MS Еxcel правило Крамера можно реализовать следующим образом (расчетные формулы: рисунок 3, таблица значений: рисунок 4).

Рисунок 3

Рисунок 4

Преобразуем рабочие листы с помощью команды меню Сервис – Параметры. На вкладке Вид убираем сетку, заголовки строк и столбцов, полосы прокрутки. Защищаем листы паролем (Сервис – Защита – Защитить лист), предварительно сняв ярлык «Защищаемая ячейка» с тех ячеек, куда вводят данные. Теперь разработанные шаблоны готовы к использованию для автоматизации рутинных «ручных» вычислений.