Логическое следование формул алгебры высказываний. Посылки и следствия

Понятие логического следствия. Определение 6.1. Формула F (X 1,..., X n) называется логическим следствием формул F 1 (X 1,..., Xn),..., Fm (X 1,..., Xn), если формула H (X 1,..., Xn)превращается в истинное высказывание при всякой такой подстановке вместо всех ее пропозициональных переменных X 1,..., Xn конкретных высказываний, при которой в истинное высказывание превращаются все формулы F 1 (X 1,..., Xn),..., Fm (X 1,..., Xn). То, что формула H является логическим следствием формул F 1(X 1,..., Xn),..., Fm (X 1,..., Xn), записывается так: .

Признаки логического следствия. То, что некоторая формула является логическим следствием каких-то формул, можно выразить так же, сказав, что подходящая формула является тавтологией. В этом существо признаков, о которых пойдет речь в настоящем пункте, чем еще раз подчеркивается важное значение тавтологий.

Теорема 6.3 (признак логического следствия). Формула Н будет логическим следствием формулы F тогда и только тогда, когда формула F ® H является тавтологией.

Следующая теорема дает признаки того, что формула является логическим следствием двух или большего количества формул.

Теорема 6.4. Для любых формул F 1(X 1,..., X n),..., Fm (X 1,..., X n) следующие утверждения равносильны: