Свойство диагоналей ромба

Дано: ABCD — ромб, АС и BD — диагонали, О — точка пересечения диагоналей.

Доказать: AC BD, АС и BD — биссектрисы углов ромба.

Доказательство. Рассмотрим ромб ABCD (см. рис. 61). По свойству параллелограмма АО = ОС. Значит, в треугольнике ABC отрезок ВО является медианой. Так как ABCD — ромб, то АВ = ВС и треугольник ABC — равнобедренный. По свойству равнобедренного треугольника медиана, проведенная к его основанию, является биссектрисой и высотой. А это значит, что диагональ BD является биссектрисой угла В и перпендикулярна диагонали АС. Аналогично рассматривается AABD. Теорема доказана.

63. Задача по теме «Равнобедренный треугольник».

64. Задача по теме «Подобие треугольников».

В треугольнике из всех вершин проведены высоты, каждая из которых разбивает его на два треугольника. Докажите, что любые два из этих треугольников, имеющие общую вершину с данным, подобны.