и 5 положений плоской фигуры. Круговые квадратические точки

Пусть заданы 4 положения в подвижной плоской фигуры (плоскость ) по возможности мало отклоняется от окружности радиусом и центром в точке с координатами и в абсолютной системе координат .

Тогда уравнение (6) представляет собой из четырех уравнений относительно трех неизвестных и :

Система уравнений имеет общее решение, когда определитель расширенной матрицы данной системы равен нулю, т.е.:

Если подставить в уравнение (14) выражения из соотношений (2) и (5), и раскрыть определитель 4-го порядка, то получим уравнение кривой третьего порядка вида:

, (15)

Кривая (15) представляет собой геометрическое место точек подвижной плоскости , имеющее 4 положении на одной окружности. Эта кривая называется кривой Бурместера или кривой круговых точек. Точки этой кривой имеющие 4 положения на окружности, называются круговыми точками.

Рис. 2. Кривая круговых точек

Если выбрать одну кривую точку, лежащую на кривой Бурместера, то достаточно определить центр окружности по трем уравнениям системы (13). Тогда эта окружность будет проходить и через четвертое положение подвижной плоскости .

Центры окружностей круговых точек кривой Бурместера также образуют кривую третьего порядка, которая называется кривой центров.

Таким образом, если подвижная плоскость занимает 4 положения в абсолютной системе координат , то через любую точку кривой Бурместера (15) можно провести окружность. Координаты и центра окружности и ее радиус для одной круговой точки определяются по любым трем уравнениям системы (13) при заданных значениях .

Пять положений плоской фигуры

Пусть заданы пять положений подвижной плоскости в абсолютной системе координат (рис.1).

Тогда уравнение (6) представляет собой из пяти уравнений относительно трех неизвестных и :

(16)

Система уравнений имеет общее решение, когда определитель ранг расширенной матрицы данной системы равен нулю.

Поскольку ранг матрицы системы уравнений должен быть равен трем, то все миноры 4-го порядка этой матрицы равны нулю, т.е.:

(17)

Подставив в уравнение (17) значения из соотношений (2) и (3) получаем, что каждое уравнение системы (17) представляет кривую 3-го порядка вида (13).

Круговые квадратические точки (ККТ)

Пусть подвижная плоскость занимает дискретные положения относительно абсолютной системы координат тройками параметров .

Необходимо определить на плоскости точку с координатами и , которая в заданных положениях подвижной плоскости по возможности мало отклоняется от окружности радиусом и центром в точке с координатами и в абсолютной системе координат .

Отклонение точки в ее положениях от окружности радиусом и центром в точке определяется выражением:

, (18)

где и - координаты точки абсолютной системе координат , которые определяются выражением:

. (19)

Координаты и центра окружности и ее радиус определяются из условия минимума отклонений .

Минимизация отклонений методом наименьших квадратов сводится к сложной системе нелинейных уравнений в связи с наличием радикала в уравнении (18). Поэтому эту задачу целесообразно свести к эквивалентной задаче минимизации взвешенной разности :

, (20)

где - параметрический вес, который при хорошем приближении близок к .

Взвешенную разность представим в виде:

(24)

где:

. (25)

Для минимизации взвешенной разности используем квадратическое приближение, т.е. минимизируем функцию:

. (26)

Необходимыми условиями минимума функции являются:

, (27)

где:

; (28)

; (29)

(30)

Тогда уравнения (27) представляют собой систему линейных уравнений относительно :

. (31)

Таким образом, при известных значениях координат и точки подвижной плоскости , описывающей окружность, из матричного уравнения (31) можно определить координаты и центра окружности и ее радиус при заданных положениях подвижной плоскости .

Задаваемые значения координат и точки подвижной плоскости можно уточнить, рассматривая обращенное движение систем координат и .

При этом система координат считается неподвижной, а система координат - подвижной. Тогда точка движется по окружности с центром в точке . Тогда минимизируемая целевая функция имеет вид:

, (32)

где:

; (33)

. (34)

Необходимые условия минимума функции :

(35)

приводят к системе линейных уравнений:

. (36)

Точка подвижной плоскости , описывающая окружность в абсолютной системе координат , определяется методом квадратического приближения. Поэтому такая точка названа круговая квадратическая точка (ККТ).

В зависимости от значений параметров подвижной плоскости в данной плоскости могут существовать несколько ККТ.

Количество ККТ в подвижной плоскости и начальные значения их координат определяются методом случайного поиска.

Итерационный алгоритм уточнения координат каждой ККТ, например точки , имеет вид:

1. Задаемся начальными значениями координат и точки в системе координат ;

2. Вычисляем координаты и точки в абсолютной системе координат выражением (19);

3. Определяем начальные значения координат центра окружности и ее радиус уравнением (31);

4. По параметрам и вычисляем начальные значения координат и точки в обращенном движении уравнением (33);

5. Определяем первое приближение координат и радиуса уравнением (36);

6. Принимая первое приближение координат за их начальное значение, переходим к пункту 2.

Данный итерационный процесс завершается, когда изменение значений координат ККТ будет меньше заданной точности .