Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Теорема. (Об умножении комплексных чисел в тригонометрической форме записи.)
Пусть , где и , где – два произвольных комплексных числа записанных в тригонометрической форме. Тогда
. (13)
Доказательство.
, ч.т.д.
Теорема доказана.
Отсюда вытекает правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме записи.
Для того, чтобы перемножить два комплексных числа в тригонометрической форме записи нужно перемножить их модули, а аргументы сложить.
Следствие 1. Пусть k натуральное число и . Пусть далее , где – произвольные n комплексных чисел записанных в тригонометрической форме записи. Тогда
.
Доказательство проводится индукцией по числу сомножителей и предоставляется читателю.
Следствие 2. Пусть n натуральное число и – произвольное комплексное число в тригонометрической форме записи. Тогда
.
Доказательство сразу же следует из Следствия 1.
Теорема. (Свойства модуля комплексного числа.)
Пусть – произвольные комплексные числа и соответствующие точки на комплексной плоскости. Тогда:
1) и . Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей и модули противоположных чисел равны;
2) расстояние между точками и комплексной плоскости равно модулю разности соответствующих комплексных чисел: ;
3) ;
4) ;
Доказательство. 1) По предыдущей теореме имеем:
, где и ,
т.е. .
Таким образом, равенства и есть тригонометрическая форма записи числа , следовательно, по теореме о равенстве комплексных чисел в тригонометрической форме записи, имеем , ч.т.д.
Далее, т.к. , то по только что доказанному свойству , ч.т.д.
Заметим, что последнее равенство можно получить и из других соображений.
Противоположные числа на комплексной плоскости изображаютсяточками симметричными относительно начала координат. Действительно, пусть . Тогда и точки , имеют противоположные декартовые координаты. Значит, в силу симметрии, расстояния от этих точек до начала координат равны, т.е. , ч.т.д. Заметим, также, что такой же результат можно получить с помощью формулы (12) вычисления модуля комплексного числа.
2). Пусть , . Тогда и по формуле (12) имеем:
. (14)
С другой стороны, рассмотрим числа и как точки на комплексной плоскости. Тогда точка имеет декартовые координаты , а и искомое расстояние между ними вычисляется по формуле (14), ч.т.д.
3) Рассмотрим на комплексной плоскости точки , и начало координат О. В общем случае эти три точки являются вершинами треугольника :
рис.6.
Воспользуемся известным свойством треугольника: длина стороны треугольника не превосходит суммы длин двух его других сторон.
Мы только что доказали, что длина стороны этого треугольника равна , а длины сторон и равны по определению модулям чисел и : , . Отсюда и получаем, что .
Заменим в последнем неравенстве число на противоположное число , тогда получаем:
, ч.т.д.
Заметим, что равенство в этих неравенствах достигается тогда и только тогда, когда треугольник вырождается в отрезок прямой, т.е. когда все три точки О, и лежат на одной прямой.
4) , откуда следует
. Поменяв местами и , получаем
, откуда и следует доказываемое неравенство.
Теорема доказана.
Теория комплексных чисел имеет много приложений в различных областях математики. Не могу удержаться от искушения привести хотя бы один такой пример, относящийся к области теории чисел.
Определение. Говорят, что натуральное число n представимо в виде суммы двух квадратов, если существуют такие целые числа х и у, что выполняется равенство:
.
Теорема. Если два числа представимы в виде суммы двух квадратов, то их произведение также представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство. Пусть и , где .
Нам нужно доказать, что найдутся два целых числа а и b такие, что .
С этой целью рассмотрим два комплексных числа и .
Тогда и по формуле (12) имеем: .
С другой стороны, , . Так как , то или , то отсюда получаем равенство: , где , ч.т.д.
Теорема доказана.
Дата публикования: 2015-01-24; Прочитано: 212 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!