Введение. В настоящее время множество задач математики, а также большой объем частных прикладных задач решаются методами математического программирования

В настоящее время множество задач математики, а также большой объем частных прикладных задач решаются методами математического программирования. Эти методы позволяют описать с достаточной точностью широкий круг задач.

Математические методы и модели, которые изложены в данном пособии, хорошо известны, распространены и используются в различных контекстах – методы исследования операций, методы оптимального управления (линейное, нелинейное, динамическое программирование), теория игр, теория принятия решений и пр.

Целью настоящего пособия является: изложить в доступной форме материал по указанным темам; научить студентов строить математические модели и описать их применение для решения различных задач.

Основы моделирования. Основные понятия

Моделирование – это метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей.

Модель – это некий новый объект, который отражает особенности изучаемого объекта, явления или процесса.

Создание аналогов, выполняющих роль заместителей, в той или иной сте­пени копирующих или воспроизводящих оригинал, необходимо для исследования, поскольку проведение непосредственного экс­перимента часто очень дорого или просто невозможно. Поэтому создание каких-либо аналогов коммерческой деятельности или со­ставляющих ее элементов позволяет удешевить проведение иссле­дования, а затем по полученным результатам уже судить об оригинале.

В простейшем варианте понятие «модель» можно связать с представлением какой-либо копии, повторяющей в уменьшен­ном или увеличенном виде с сохранением пропорций, например здания, моста, башни, склада, микрорайона, города, скульпту­ры. Такие модели называют макетами. Макет может отобразить в увеличенной копии что-то микроскопическое, недоступное обычному восприятию человека, например строение атома. Такие модели принято называть материальными, или вещественными. Они предназначены для того, чтобы точнее изучить, проанализировать то, что человек собирается создать, изготовить, построить или переделать. Это позволяет дешево реализовать замысел. В процессе работы над такой моделью можно легко изменять варианты будущего изделия и затем выбрать лучший.

К физическим моделям относятся: скульптура, игрушечные автомобили, глобус, планетарий, модели самолетов и другие ма­териальные объекты, заменяющие оригиналы; к абстрактным моделям - рисунок, схема, карта, путеводитель, план дома, фотография, математические и компьютерные модели.

Под математической моделью принято понимать совокуп­ность соотношений - уравнений, неравенств, логических усло­вий, операторов и т. п., определяющих характеристики состоя­ний объекта моделирования. Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства объекта-оригинала, которые отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей и задач конкретного исследования.