Поле плоской волны над идеально проводящей плоскостью

Физическую картину процесса распространения электромагнитных волн в волноводе можно представить себе на основании рассмотрения поля плоской волны над идеально проводящей плоскостью. Результат решения этой задачи непосредственно приводит к установлению возможности рассмотрения электромагнитных волн между двумя параллельными проводящими плоскостями неограниченных размеров, которые и образуют своеобразный волновод. Более того, эти результаты позволяют получить основные условия распространения в том общем виде, в котором они применимы для волноводов при любой форме поперечного сечения.

Поле плоской волны над идеально проводящей плоскостью можно определить на основании изложенных ранее результатов рассмотрения вопросов отражения плоских волн от плоской границы раздела. Будем рассматривать процесс в прямоугольной системе координат, причём ось будет направлять в интересующем нас направлении распространения [2,6].

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Пусть на идеально проводящую плоскость падает электромагнитная волна (лучи), как показано на рис. 4.1. При отражении, в результате сложения прямой и отражённой волн, над плоскостью образуется волновой процесс. В чём суть этого процесса? Определим поле в произвольной точке . Для этого запишем следующие выражения.

Выражения падающей волны для векторов и :

(4.1)

Выражения для отражённой волны векторов и :

(4.2)

Эти формулы получены ранее на основании закона отражения электромагнитных волн. В общем случае решения задачи достаточно сложное, поэтому рассмотрим два частных случая.

Горизонтально-поляризованная волна. В этом случае вектор падающей волны лежит в плоскости, параллельной границе раздела (зеркалу), как показано на рис. 4.2. Направим вектор падающей плоской волны по оси . будет перпендикулярен . Известно, что на поверхности идеального проводника Следовательно, . при этом будет перпендикулярен . Суммарное поле в точке будет равно сумме падающей и отражённой волн.

Для результирующей составляющей вектора в точке имеем:

Для результирующих составляющих вектора в точке нужно сложить их составляющие, учитывая, что , так как поверхность идеально проводящая:

Заметим, что

а также

Следовательно,

(4.3)

Обозначим , тогда

В результате получим:

(4.4)

Выражения (4.4) описывает составляющие электромагнитного поля в некоторой точке над идеально проводящей плоскостью.

Анализируя выражения (4.4) можно сделать следующие выводы:

1) Результирующее поле над зеркалом представляет собой электромагнитную волну, распространяющуюся в направлении оси , т. е. параллельно зеркалу. Эта волна плоская, так как поверхность постоянной фазы плоскость, перпендикулярная зеркалу.

2) Постоянная распространения этой волны является чисто мнимым числом и равна:

где – волновое число.

Длина волны электромагнитного поля, распространяющейся вдоль поверхности зеркала,

т.е. эта длина волны больше длины волны в однородном безграничном пространстве. Это объясняется тем, что фазовая скорость волны:

где – скорость света в безграничной среде с параметрами

3) Волна оказывается неоднородной, так как поверхность постоянной амплитуды определяется уравнением , т. е. плоскостью, параллельной к зеркалу.

4) В направлении оси , т. е. в направлении, перпендикулярном зеркалу, никакого распространения энергии нет, а образуется стоячая волна, длина которой определяется из условия:

5) На плоскостях, параллельных зеркалу, составляющие векторов поля принимают те же самые значения, что и на зеркале, если расстояния этих плоскостей от зеркала удовлетворяют условию:

Действительно, согласно граничным условиям на идеально проводящей поверхности тангенциальная составляющая и нормальная составляющая Легко видеть из выражений (4.4), что при указанных значениях

В теории волноводов эти поверхности называются поверхностями непроницаемости.

6) На поверхности зеркала индуктируется ток проводимости, вектор плотности которого, как известно, равен:

Замечаем, что вектор плотности тока перпендикулярен направлению распространения волны, т. е. возникает поперечный ток.

7) Переменный поверхностный заряд на зеркале не индуктируется, так как по определению

8) Распространяющаяся суммарная волна необычна в том смысле, что она не является полностью поперечной. Наряду с поперечными составляющими и имеется и продольная составляющая , направленная вдоль направления распространения. Такая волна называется поперечно-электрической или магнитной и обозначается -волна (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Вопрос