Решение, соответствующее плоской электромагнитной волне

Плоской электромагнитной волной называется волна, у которой колебания происходят в одной и той же фазе на безграничной плоскости. Иначе говоря, поверхность постоянной фазы (пространственной) такой волны есть бесконечная плоскость. Вид волны определяется постоянной пространственной фазой. Например, практически волну от точечного источника на достаточно большом расстоянии от него можно считать плоской.

Электромагнитные волны бывают однородные и неоднородные. Если поверхность постоянной фазы и поверхность постоянной амплитуды совпадают, то такая волна называется однородной. В противном случае волна называется неоднородной.

Плоская электромагнитная волна имеет такое же важное значение в радиотехнике, как и гармоническое колебание. Математический аппарат значительно упрощается при использовании плоской волны.

Если имеем область, свободную от зарядов () и сторонних токов (), то для гармонических ЭДС можно воспользоваться методом комплексных амплитуд. При этом, как нам уже известно, вектор-потенциал удовлетворяет уравнению (1.88) [6], т. е.

(2.1)

где

Этот простейший случай соответствует частному виду решения уравнений Максвелла, дающему плоскую однородную линейно-поляризованную волну. Форма решения уравнения (2.1) в этом случае имеет вид

(2.2)

,

где – произвольный постоянный во всем пространстве вектор;

– некоторая постоянная и в общем случае комплексное число;

– переменное расстояние вдоль прямой, направление которой определяется направлением единичного вектора (рис. 2.1);

– радиус-вектор, проведённый из начала координат в про­извольную точку пространства;

^,

и – постоянные числа;

^,

– координаты вектора .

Причём, всегда выполняется условие

	Рис. 2.1

Рассмотрим процесс, характеризующий решение (2.2),

Это выражение определяет плоскую однородную волну, распространяющуюся вдоль прямой с постоянной фазовой скоростью . А так как

и с изменением времени изменяется и расстояние , т. е.

отсюда скорость равна

Форма этой волны плоская, так как пространственная фаза при . Но есть уравнение плоскости, перпендикулярной . Амплитуда же волны постоянна тоже при , т. е. мы получили плоскую однородную волну. Амплитуда волны уменьшается с расстоянием по экспоненциальному закону .

Величина называется постоянной распространения. Её вещественная часть определяет затухание амплитуды волны по мере её распространения вдоль прямой , а мнимая часть представляет собой волновое число.

Поскольку векторы поля и получаются из вектора простым дифференцированием, проделав операции (1.89) или (1.90) в зависимости от типа волны, то вид зависимостей и от сохраняется таким же, как и выражение (2.2). Таким образом, приняв решение уравнения (2.1) в виде (2.2), мы получим плоскую, однородную, линейно-поляризованную волну.

В каком же случае решение (2.2) удовлетворяет уравнению (2.1)? Для этого, подставив (2.2) в (2.1), получим:

Найдём

Сначала вычислим

;

Аналогично вычислим и другие производные. В результате имеем:

В результате вычислений получаем:

или

При этом должно выполняться условие

(2.3)

Следовательно,

Таким образом, решение (2.2) удовлетворяет уравнению (2.1), если . Отсюда следует, что уравнение (2.1) имеет решение:

где – соответствует прямой волне, т. е. волне, распространяющейся от начала координат вдоль прямой ;

– соответствует обратной (встречной) волне, рас­пространяющейся в отрицательном направлении вдоль прямой .

Перейдём к определению векторов поля и , считая, что , т. е. берём электрический вектор-потенциал, что соответствует полю электрического типа. (Это поле ничем не отличается от магнитного, за исключением того, что поляризация у них будет разная):

;

,

где

.

Таким образом, получили:

(2.4)

Так как произвольный по величине и направлению вектор, то также произвольный по величине вектор, а по направлению перпен­дикулярен вектору , т. е. направлению распространения. Следовательно, если мы задали направление распространения , то вектор также перпендикулярен этому направлению распространения. Вектор также перпендикулярен вектору и, кроме того, перпендикулярен вектору .

Таким образом, в найденной нами плоской волне характерным является то, что векторы и взаимно перпендикулярны и лежат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.

Электромагнитные волны, обладающие таким свойством, называются полностью поперечными и обозначаются Т-волны (или - волны). Нетрудно установить расположение этих векторов (рис. 2.2). Эта волна распространяется к нам из-за плоскости чертежа. Из окончательных выражений для векторов поля вектор-потенциал можно исключить. Для этого вычислим векторное произведение

	Рис. 2.2

Известно тождество

,

поэтому

Следовательно,

Учитывая это, запишем общее решение уравнений Максвелла для плоской волны:

(2.5)

^;

,

где

Величина называется характеристическим сопротивлением пространства и весьма широко применяется в инженерных расчётах.

Вопрос