Некоторые алгоритмы построения областей устойчивости в пространстве параметров

Обозначим искомое множество через R, а пространство параметров системы— через А. Множество R описательно можно характеризовать тем, что если значение параметров а R, то процесс функционирования системы обладает некоторым желаемым свойством. Обычно при этом требуется, чтобы искомое множество R являлось подмножеством некоторой фиксированной области А) —допустимой области изменений параметров системы. Будем в дальнейшем предполагать, что если задано значение параметра а, то мы располагаем критерием, позволяющим судить, принадлежит а множеству R или нет. Так, если R — множество, где значение некоторого функционала ф(а) превышает значение ф0, то проверка принадлежности а множеству R состоит в вычислении (или оценке) конкретного значения функционала и сравнении его с ф0. Если R — область устойчивости по Ляпунову решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, то можно, например, проверить условия Гурвица в точке а и т. д.

При исследовании реальных систем обычно известны некоторые априорные сведения относительно множества R. Такие сведения имеют, как правило, достаточно общий характер— односвязность R, гладкость ее границы, максимальная кривизна поверхности, выпуклость и т. п. Однако и они позволяют создавать специализированные алгоритмы нахождения множества R, учитывающие специфику имеющейся информации. Рассматриваемые ниже алгоритмы относятся к этому типу. Всюду будет предполагаться, что граница искомого множества достаточно гладкая и сведения об этой гладкости позволяют выбрать конкретное число точек и максимальное расстояние между ними, с достаточной степенью точности задающее искомое множество, поэтому на указанных вопросах останавливаться не будем.

Приведем сначала алгоритм нахождения множества R в двумерном евклидовом пространстве, если известно, что множество R односвязно и лежит в области А. Пусть a1 и a2 — компоненты вектора a, a = (a1 a2). Будем отмечать символом «+» значения параметров, принадлежащие R, а символом «—» — не принадлежащие R. Результатом работы алгоритма является фиксирование точек, лежащих в R и отстоящих от границы R не далее, чем на заданное число > 0. Обозначим i-ю такую точку через (с компонентами и ,). Работа алгоритма складывается из трех, последовательно выполняемых этапов:

1) поиск точек (с компонентами ;

2) нахождение точки ;

3) обход границы множества R и фиксация граничных точек .

.

На первом этапе ищутся две точки После того как точки найдены, второй этап – нахождение точки , лежащей на границе множества R. На третьем этапе осуществляется обход границы множества R, начиная с найденной точки . При этом граница «нащупывается» с помощью поисковых движений. Алгоритм заканчивает свою работу, когда граница множества замыкается. Очевидно, что если - ограниченная область, но алгоритм завершит работу через конечное число шагов.

Алгоритм может быть использован в случае, когда размерность вектора а превышает 2. Это осуществляется построением двумерных сечений множества R, когда все компоненты, кроме двух, фиксированы. Получая указанные сечения при различных значениях фиксированных компонент, можно найти все множество R. Правда при размерности вектора а уже более трех возникает проблема обозримости полученной информации координат граничных точек.

Путем неоднократного применения описанного алгоритма можно находить многосвязные и состоящие из нескольких односвязных множеств R, последовательно обходя различные границы.

Тема 6. Агрегатное описание информационных систем.

1. Агрегатное описание информационных систем. Понятие агрегата. Операторы входов и выходов. Случайный поток событий.

Ответ:

Агрегат - это динамическая система, характеризующаяся в моменты времени tÎT функциями состояния z(t)ÎZ и выходными сигналами y(t)ÎY, зависящими от входных воздействий x(t)ÎX, управляющих сигналов u(t)ÎU и предыстории воздействий и управления.

Информационное определение: Агрегат - унифицированная схема, получающаяся наложением дополнительных ограничений на множества состояний, сигналов и сообщений. В некоторых случаях учитывают также операторы переходов и состояния выходов (выходные сигналы).

В определение агрегата входят следующие понятия:

Моменты времени tÎT; входные сигналы xÎX; управляющие сигналы uÎU; - выходные сигналы yÎY; zÎZ - состояния. Все величины x(t), u(t), y(t), z(t) - являются функциями времени.

На основе этих понятий можно определить агрегат как объект, заданный множествами T, X, U, Y, Z и операторами H и G, реализующими функции z(t) и y(t). Структура операторов H и G является определяющей для понятия агрегата.

Агрегат схематически можно представить в виде динамической системы, приведенной на рис. 1.12.

Рис. 1.12. Схематическое представление агрегата в виде динамической системы на которую влияют входные сигналы и внешние воздействия, определяющие состояние и выходные сигналы системы

Вводится также пространство параметров агрегата b=(b ₁, b ₂ ,...,b_n)ÎB.

Оператор выходов G реализуется как совокупность операторов G` и G``. Оператор G` выбирает очередные моменты выдачи выходных сигналов, а оператор G`` - содержание сигналов: у(t) = G` `{ t, z(t),u(t),b }.

В общем случае оператор G `` является случайным оператором, т.е. t, z(t), u(t) и b ставится в соответствие множество y(t) с функцией распределениязадаваемой G ``. Оператор G ` определяет момент выдачи следующего выходного сигнала.

Операторы переходов агрегата. Рассмотрим состояние агрегата z(t) и z(t+ 0 ).

Оператор V реализуется в моменты времени t_n поступления в агрегат сигналов x_n(t). Оператор V1 описывает изменение состояний агрегата между моментами поступления сигналов.

z(t’_n + 0 ) = V{ t’_n, z(t’_n), x_n (t), b }.

z(t) = V1(t, t_n,, x_n (t),b }.

Особенность описания некоторых реальных систем приводит к так называемым агрегатам с обрывающимся процессом функционирования. Для этих агрегатов характерно наличие переменной, соответствующей времени, оставшемуся до прекращения функционирования агрегата.

Все процессы функционирования реальных сложных систем по существу носят случайный характер, поэтому в моменты поступления входных сигналов происходит регенерация случайного процесса. То есть развитие процессов в таких системах после поступления входных сигналов не зависит от предыстории. Такие системы называют Марковскими.

Автономный агрегат - это агрегат, который не воспринимает входные и управляющие сигналы.

Неавтономный агрегат - общий случай, описанный выше (с внешними входными и управляющими воздействиями).

2. Операторы входов и выходов; принципы минимальности информационных связей агрегатов.

Ответ:

Агрегат схематически можно представить в виде динамической системы, приведенной на рис. 1.12.

Рис. 1.12. Схематическое представление агрегата в виде динамической системы на которую влияют входные сигналы и внешние воздействия, определяющие состояние и выходные сигналы системы

Вводится также пространство параметров агрегата b=(b ₁, b ₂ ,...,b_n)ÎB.

Оператор выходов G реализуется как совокупность операторов G` и G``. Оператор G` выбирает очередные моменты выдачи выходных сигналов, а оператор G`` - содержание сигналов: у(t) = G` `{ t, z(t),u(t),b }.

В общем случае оператор G `` является случайным оператором, т.е. t, z(t), u(t) и b ставится в соответствие множество y(t) с функцией распределениязадаваемой G ``. Оператор G ` определяет момент выдачи следующего выходного сигнала.

Операторы переходов агрегата. Рассмотрим состояние агрегата z(t) и z(t+ 0 ).

Оператор V реализуется в моменты времени t_n поступления в агрегат сигналов x_n(t). Оператор V1 описывает изменение состояний агрегата между моментами поступления сигналов.

z(t’_n + 0 ) = V{ t’_n, z(t’_n), x_n (t), b }.

z(t) = V1(t, t_n,, x_n (t),b }.

3. Агрегат как случайный процесс. Информация и управление. Последовательное раскрытие элементарного события.

Ответ:

Агрегат как случайный процесс.
Поскольку процессы функционирования реальных сложных систем по своему существу носят случайный характер, для аг­регата как математической модели используются основные понятия теории случайных процессов. Как известно, случайный про­цесс является функцией двух переменных: w и t, где w — элемент вероятностного пространства W, а t — элемент множества рас­сматриваемых моментов времени Т. Пусть каждому wÎW поста­влены в соответствие число ¥³t=t(w)³0 и функция x(t, w), определенная при любых w для 0£t£t(w). Система функций называется обрывающимся случай­ным процессом. Иначе говоря, у обрывающегося случайного процесса каждая его реализация имеет свое собственное время определения . Наряду со случайным процессом введем понятие случайного потока. Случайным потоком называется па­ра , где — конечное или счетное мно­жество моментов времени; принимают значения y(f) из не­которого измеримого пространства Y выходных сигналов агрега­та. Таким образом, под случайным потоком понимается совокуп­ность случайных моментов времени и случайных значений некоторой функции , принимаемых в моменты, принадлежа­щие последовательности .
Системы функционирующие под воздействием случайных факторов, называются стохастическими. Для их описания вводится случайный оператор: w Î W - пространство элементарных событий с вероятностной мерой P(A).
Случайный оператор H1, переводящий множество X в множество Z: z = H1(x, w), реализующий отображение множества W в множество {X®Z }
Оператор переходов будет представлен соответственно:
z(t)= H1{t,t0,z(t0, w0), (t, xL]t0t, w`},
y(t) = G1(t, z(t), w``).
Где w0, w’, w’’ - выбираются из W в соответствии с P0(A), Px(A), Py(A). При фиксированных w’, w’’ - система со случайными начальными состояниями. При фиксированных w0, w’’ - система со случайными переходами. При фиксированных w0, w’ - система со случайными выходами.

4. Кусочно-непрерывные и кусочно-линейные агрегаты. Приведение кусочно-линейных и кусочно-непрерывных агрегатов к каноническому виду.

Ответ:

Кусочно-непрерывный агрегат - это агрегат, функционирующий как автономный агрегат в промежутках между подачей сигналов.

Кусочно-линейный агрегат - это агрегат, в котором процессы могут быть описаны дифференциальными уравнениями d z _v(t)/d t = F ^(v)(z _v), где F ^(v) - оператор связи.

Представление реальных систем в виде композиции агрегатов неоднозначно, вследствие неоднозначности выбора фазовых переменных.

Путем дальнейшего расширения множества состояний и соответствующих преобразований координат можно привести кусочно-линейный агрегат к более простому виду. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

Пусть в момент t состояние кусочно-линейного агрегата z (t) = (v, z_v). Тогда, если предположить, что, начиная с момента t, внешние воздействия на агрегат прекратились, можно определить момент первого выхода вектора дополнительных координат на границу g_v области Г_v, а также ту грань g_vi0, на которую произойдет выход. Выход на границу произойдет в момент t + t, t=min t_j, где величины

t_j = t_j (z_v) находятся из условия z_v — a_nt_jÎg_vj. Номер грани i₀, на которую произойдет выход вектора дополнительных координат, определится равенством t _i0 = t.

Из определения кусочно-линейного агрегата следует, что t и i₀ находятся из решения конечной системы линейных алгебраических уравнений, проверки ряда линейных неравенств и взятия минимума. Заметим также, что номер i₀ не меняется вдоль траектории движения дополнительных координат.

Определим новый агрегат (кусочно-линейный), взяв в качестве основного состояния пару v_k = (v, i₀). За первую дополнительную координату, которую обозначим через Zv_k1, возьмем (в случае |v| > 0) величину t. По своему смыслу — это неотрицательная переменная, убывающая с единичной скоростью вплоть до того момента, когда она обращается в нуль.

Пусть последний переход исходного агрегата из одного основного состояния в другое имел место в момент t* < t. В этот момент значение времени до выхода на границу было равно t_*. Уже было отмечено, что номер i₀ не изменяется в течение всего времени пребывания агрегата в некотором основном состоянии. Выберем в качестве второй дополнительной координаты нового агрегата, которую обозначим через Zv_k2, величину t_*. Таким образом, Zv_k2- Zv_k1 суть время, прошедшее с момента последнего изменения основного состояния исходного агрегата. Выберем в качестве i-и (i > 2) дополнительной координаты нового агрегата значение Zv, i-2 (t*), т. е. Zv_k,i = zv, i-2 (t*). Отсюда следует, что все дополнительные координаты нового агрегата (в случае их существования), начиная со второй, сохраняют свои значения неизменными вплоть до перехода в другое основное состояние. Очевидно, поступления входного сигнала не нарушают построенной конструкции и учитываются естественным образом. Построенный агрегат является кусочно-линейным и его характеристики однозначно определяются через характеристики исходного агрегата. Легко видеть, что верно и обратное: зная состояние нового агрегата, который назовем агрегатом в каноническом виде, можно однозначно восстановить состояния исходного агрегата.

Следовательно, можно вместо кусочно-линейных агрегатов общего вида рассматривать такие кусочно-линейные агрегаты, у которых первая из дополнительных координат убывает с единичной скоростью, а остальные не изменяют своих значений до момента обращения в О первой координаты. Благодаря этому вид областей Fv чрезвычайно простой: Fv = \zv: zvi^0), и отпадает необходимость различать грани областей Fv. Каждая такая область имеет единственную грань zvi = 0. При рассмотрении теоретических вопросов часто оказывается удобным исследовать агрегат в каноническом виде. В то же время для численных расчетов, моделирования и т. п. это оказывается не всегда целесообразным. Следует отметить, что для кусочно-линейного случая нахождение характеристик агрегата в каноническом виде через характеристики исходного агрегата и обратно не вызывает принципиальных трудностей.

Укажем, что к такому же (каноническому) виду может быть сведен и кусочно-непрерывный агрегат, определяемый в § 6.2. Таким образом, класс кусочно-линейных агрегатов совпадает, по существу, с классом кусочно-непрерывных агрегатов. Однако переход от произвольного кусочно-непрерывного агрегата к каноническому связан с целым рядом принципиальных трудностей, таких, как нахождение времени т и точки на границе YV, куда попадает вектор дополнительных координат, поскольку, в общем случае, эти величины будут случайными, и их распределения находятся в результате решения достаточно сложных вероятностных задач.

Если же траектория движения в области Fv является, скажем, решением системы обыкновенных дифференциальных уравнений, то для перехода к агрегату в каноническом виде требуется, вообще говоря, произвести интегрирование данной системы.

5. Классы агрегативных систем. Оси приема и выдачи сигнала. Оператор сопряжения агрегатов. Агрегатные подсистемы.

Ответ:

Единое мат описание получают только те системы, элементы которых в результате формализации либо все оказывается конечными автоматами, либо системами массового обслуживания, либо все динамическими системами, другими словами классами сложных систем.