Типовые фаззификаторы и дефаззификаторы

Фаззификатор осуществляет отображение четкой точки (где - универсальное множество) в нечеткое множество в . Существуют два возможных варианта такого отображения:

Синглетон - фаззификатор (singleton fuzzifier); в этом случае нечеткое множество определяется как:

;

Несинглетон - фаззификатор (nonsingleton fuzzifier); в этом случае и значение убывает. Например,

,

где - параметр, характеризующий форму .

Примечание. Во многих приложениях, включая управление динамическими объектами, используется синглетон - фаззификатор, несинглетон - фаззификатор может быть полезен там, где данные подвержены искажению шумом.

Целью процесса дефаззификации является извлечение четкого выходного значения из результата нечеткого вывода , .

Таким образом, дефаззификатор осуществляет отображение нечеткого множества в в четкую точку . Существуют несколько вариантов такого отображения, например, такие:

· максимум-дефаззификатор (maximum defuzzifier) определяется как

(взять аргумент супремума функции);

· дефаззификатор «по центру тяжести» (center of gravity defuzzifier):

для непрерывного случая;

и

для дискретного случая,

где - результата нечеткого вывода после применения всех правил.

· дефаззификатор «средний максимум» (center average defuzzifier):

,

где - выходное нечеткое множество после применения нечеткого правила l, - значение центра (максимума) нечеткого множества , M – число нечетких правил.

Нечеткие системы как универсальные аппроксиматоры

Методология нечеткого моделирования основана на важнейших теоремах (необходимые и достаточные условия), согласно которым нечеткие системы обладают свойствами универсальных аппроксиматоров (universal approximators).

Теорема о необходимых условиях (Wang L.-X., Kosko B.): Для любой действительной непрерывной функции на компактном множестве и произвольной существует нечеткая логическая система (с нечеткой импликацией в виде нечеткой конъюнкции (умножения), с синглетон -фаззификатором, дефаззификатором «по центру тяжести» и Гауссовскими функциями принадлежности) такая, что

.

Эти теоремы были доказаны Wang L.-X. [7] и Kosko B.

Теорема о достаточных условиях: Нечеткая логическая система может аппроксимировать любую действительную непрерывную функцию.

Эта теорема была доказана Buckley J.J.

Эти две теоремы объясняют, почему нечеткие системы так привлекательны в инженерных приложениях теории управления: нечеткие контроллеры могут рассматриваться как универсальные аппроксиматоры систем с неизвестной динамикой и структурой.