ПФ интеграла от функции

Преобразование Фурье — это интегральное преобразование, которое раскладывает исходную функцию на базисные функции, в качестве которых выступают синусоидальные функции, то есть представляет исходную функцию в виде интеграла синусоид различной частоты, амплитуды и фазы. Преобразование названо по имени Жана Фурье.

Существует множество тесно связанных разновидностей этого преобразования, которые будут приведены ниже.

Преобразование Фурье — операция, сопоставляющая функции вещественной переменной другую функцию вещественной переменной. Эта новая функция описывает коэффициенты («амплитуды») при разложении исходной функции на элементарные составляющие — гармонические колебания с разными частотами.

Кроме преобразования Лапласа, широкое применение находит также еще одно интегральное преобразование, которое носит название преобразования Фурье.

Пусть f(x) есть функция вещественной переменной х, определенная на всей прямой . Основное ограничение, накладываемое на эту функцию, имеет вид

то есть эта функция абсолютно интегрируема на всей числовой оси. Кроме этого, требуется, чтобы при .

Преобразованием Фурье F(w) от функции f(x) называется функция

Она существует при любых w.

Как и в случае преобразования Лапласа оказывается, что не только F(w) однозначно определяется функцией f(x), но и наоборот, f(x) однозначно определяется F(w), то есть имеется взаимно однозначное соответствие . Это соответствие дается формулой обращения, которая имеет вид:

В ней несобственный интеграл понимается в смысле главного значения. Сама формула носит название обратного преобразования Фурье.