Локальные экстремумы функции двух переменных

Определение 22. Точка М ₀ (x ₀, y ₀) называется точкой локального максимума (минимума) функции z = f (x, y), если существует δ – окрестность этой точки, такая, что для всех М (x, y) ∈ δ(М ₀) выполняется неравенство

f (x ₀, y ₀) > f (x, y) (f (x ₀, y ₀) < f (x, y)).

Точки максимума или минимума функции называют точками экстремума функции, а максимумы и минимумы функции – экстремумами функции.

Т е о р е м а 5 (необходимые условия существования экстремума). Если в точке М ₀ (x ₀, y ₀) дифференцируемая функция f (x, y) имеет локальный экстремум, то ее частные производные в этой точке равны нулю:

,

или, по крайней мере, одна из них не существует.

Доказательство. Рассмотрим в δ (М ₀) лишь те точки, для которых у = у ₀. Получим функцию z = f (x, y ₀) = φ (х) одной переменной. Эта функция имеет в точке х₀ экстремум, следовательно, .

Аналогично доказывается, что .

Точка М ₀ (x ₀, y ₀) – называется стационарной, критической или точкой возможного экстремума.

Следствие. Если функция z = f (x, y) имеет в точке М ₀ экстремум, то ее дифференциал в этой точке равен нулю или не существует.

Т е о р е м а 6 (достаточные условия существования экстремума). Стационарная точка М ₀ дважды дифференцируемой в ее окрестности функции z = f (x, y) является точкой экстремума, если

.

При этом, если , то точка М ₀ – точка максимума, если , то точка М ₀ – точка минимума.

Обозначим . Тогда, если

Если ∆ = B ² – АС < 0, то в точке М ₀ экстремума нет.

Если ∆ = B ² – АС > 0, тогда точка М ₀ является точкой экстремума. Кроме того, если A > 0, то M ₀ – точка минимума; если A < 0, то M ₀ – точка максимума.

Если ∆ = B ² – АС = 0, то нельзя определенно ответить на вопрос о существовании экстремума в точке М ₀. В этом случае необходимо вести дополнительное исследование поведения знака f ¢ (x, y) в окрестности точки М ₀.