Стационарном спросе и периодических поставках

Рассмотрим простейшую модель управления запасами с постоянной интенсивностью спроса и поставок . Поставки осуществляются периодически с периодом . График изменения запасов показан на рис. 7.8. Обозначим через предельный запас на складе, а Y_g - максимальный дефицит.

Примем, что расходы на хранение (штрафы) пропорциональны среднему уровню запаса (дефицита) и интервалу времени его существования, а расходы на одну поставку фиксированы величиной .

Обозначим через удельные расходы на хранение единицы продукта в единицу времени, - удельный штраф за дефицит единицы продукта в единицу времени. При этих предположениях общая функция расходов за период будет иметь следующий вид:

. (7.3.1)

Как следует из рис. 7.8, текущий уровень запасов описывается так:

g

Максимальный дефицит Y_g выражается через (рис. 7.8)

g

.

Находим и , тогда

. (7.3.2)

Обозначив

, (7.3.3)

получим

. (7.3.4)

Подставляя (7.3.4) в (7.3.2), получаем

g

(7.3.5)

Найдем выражение для функции затрат с учетом (7.3.4), (7.3.5):

g

. (7.3.6)

Средние затраты в единицу времени равны

(7.3.7)

Нужно найти такие значения , , для которых функция минимальна. Для этого составляем и решаем систему уравнений

; (7.3.8)

. (7.3.9)

Из (7.3.8) получим такое соотношение

. (7.3.10)

Наконец, из (7.3.9) получим

. (7.3.11)

Подставляя в уравнение (7.3.11) выражение для из (7.3.10), после несложных преобразований получим

или (7.3.12)

Подставив в (7.3.12) выражение для a из (7.3.3) и поделив числитель и знаменатель на , получим окончательное выражение для оптимального предельного уровня запаса

; (7.3.13)

Подставив это выражение в (7.3.10), находим оптимальный период поставки

. (7.3.14)

При таких значениях , достигается минимум средних расходов в единицу времени:

. (7.3.15)

Рассмотрим теперь частные случаи этой общей задачи:

1) недостаток запасов недопустим (см. рис. 7.9). Тогда положив и подставив в (7.3.13) - (7.3.15), получим

, (7.3.16)

(7.3.17)

,

; (7.3.18)

2) мгновенные поставки (рис. 7.10). Положив в (7.3.13) - (7.3.15) , ,
получим

, ,

Рис.7.10 Рис.7.11

; (7.3.19)

в)дефицит не допускается, поставки мгновенные (рис. 7.11). Подставив , , , в (7.3.13) - (7.3.15), получим

, , . (7.3.20)

Соотношение (7.3.20) называются формулами Уилсона, а величина в (7.3.20) - экономическим размером партии [49].