Изменение в процентных ставках: кусочно-постоянная ставка

Пусть процентная ставка на первые n₁ лет равна i₁, n₂ – i₂, и равна i₃ на оставшиеся годы (n₁+ n₂<n). Тогда Р^* - чистая ежегодная премия (взнос) на единицу страховки дается уравнением:

Р*[ ]=1 (1)

Пример 6.5.1. На 1.04.73 офис распространял 30-тилетнии капитальные акции с ежегодными премиями и страховкой 60000. Премия (взнос) вычисляется на основе ежегодной процентной ставке 8% за первые 5 лет, 7% - следующие 10 лет, 6% - в остальные годы. Офис полагал, что все его инвестиции будут вложены в ценные бумаги сроком на 1 год. Расходы оставляли 50% от первого взноса и 2% от второго и последующих.

а) Найти ежегодный взнос.

б) 1.04.85 держатель акции вместо того чтобы внести взнос, попросил сделать акции paid-up. Гарантированная страховка paid-up была больше:

I) начальной страховки, умноженной на t/n

II) накопления до конца начального под 5,5% годовых, surrender value аккумулированую под 5,5% годовых, половину первого ежегодного взноса и 97% всех последующих полученных взносов.

Вычислить paid-up страховки. Найти прибыль или убыток офиса на 1.04.2003, если владелец не заберет свою акцию.

Решение. а) Пусть ежегодный взнос – Р^’, тогда

60000 = 0.98Р^’[ (1.07)¹⁰(1.06)¹⁵+ (1.06)¹⁵+ ] - 0.48P^’(1.08)⁵(1.07)¹⁰(1.06)¹⁵

Следовательно Р^’=60000/[(0.98*89.9723)-(0.48*6.9270)]=707.15

б) Так как 12 взносов были выплачены, paid-up больше:

(I) 12*60000/30=24000

(II) 1.055¹⁸[0.5P^’(1.055)¹²+0.97P^’ ]=29427.82

Накопление офиса на 1.04.2003:

P^’{0.98[ (1.07)¹⁰(1.06)¹⁵+ (1.06)¹⁵]-0.48P^’(1.08)⁵(1.07)¹⁰(1.06)¹⁵}=37188.53

Следовательно, прибыль офиса на 1.04.2003:

37188,33-29427,82=7760,71