Введение и вычисление премий

Глава №6.

Капитальная погашаемая акция.

Введение и вычисление премий.

Капитальная погашаемая акция – это контракт, который в обмен на единственный платеж или ряд платежей установленной суммы, обеспечивает определенную сумму денег в конце фиксированного периода. Платежи, сделанные держателем акции называются премиями, а сумма, выплачиваемая в конце фиксированного периода, называется застрахованной суммой (страховкой). Дата, в которую страховка выплачивается, называется maturity датой.

Премии, выплачиваемые держателем акции, инвестируются страховой компанией для выплаты страховки в назначенное время. Для вычисления премий компания должна сделать:

а) соответствующее предположение о процентной ставке (ставках), по которым она будет инвестировать деньги;

б) установить расходы на обслуживание акции.

(1)

Стоимость премий, которые должны быть получены компанией

=

Стоимость бенефитов выплачиваемых компанией

+

Стоимость расходов, связанных с акцией

Уравнение стоимости может быть взято в любое время, но более удобно рассматривать его в датк распространения или дату погашения акции. Часто удобно (1) записать в виде:

[стоимость премий]-[стоимость расходов]=[стоимость бенефитов], причем расходы могут быть начальными и восстановительными.

Пример 6.1.1 Капитальная погашаемая акция с суммой страховки 10000 на срок 15 лет имеет уровень ежегодных, выплачиваемых авансом в течении действия акции ежегодных премий на основе процентной ставки 8% в год и начальными расходом 100 плюс 10% за первую премию и по 4% за каждую последующую премию. Найти ежегодную премию на акцию.

Решение Пусть Р^’ – ежегодная премия (взнос). После расходов компания инвестирует (0,9Р^’-100) из 1-й премии и 0,96Р^’ из последующих. Т.о, чтобы обеспечить страховку в конце 15 лет мы должны иметь

(0,9Р^’-100)(1+i)¹⁵+ (1+i)^15-t=10000 под 8%

Это уравнение может быть записано в терминах стандартных функций, например:

0,96Р^’(1+i)¹⁵+0,96Р^’ =10000+100(1+i)¹⁵

0,9Р^’ +0.06 =10000+100(1+i)¹⁵

Используя факт, что = из уравнений получим премию в терминах табулированных функций:

=368,99 под 8%

Пример 6.1.2 Условия предыдущей задачи, но расходы связанные со 2-й и далее премиями равны

а) 85

б) увеличивающийся процент на каждую премию линейно от 2,5% за 2-ю и 5% за последнюю.

Решение. Для t=1,2,3,…,14 пусть λ_t – увеличивающийся процент расходов на обслуживание премии. Тогда λ_t-2.5=(5-2.5)(t-1)/(14-1) или λ_t=2,3077+0,1923t – линейная функция.

Уравнение стоимости может быть выражено, как

(0,9Р^’-100)(1+i)¹⁵+ (1+i)^15-t=10000 или

0,9Р^’(1+i)¹⁵+0,976923Р^’ -0.001923P^’ (1+i)^15-t=10000+5 +100(1+i)¹⁵

Левая часть это , которое равно . Следовательно уравнение для Р^’ примет вид:

Р^’(0,9(1+i)¹⁵+0.976923 -0.001923 )=10000+5 +100(1+i)¹⁵ под 8%

Из которого получим Р^’=10447,977/28,0881=371,97