Метод Леверрье

Рассмотрим один из способов определения коэффициентов характеристического полинома – метод Леверрье. Он основан на использовании формулы Ньютона для суммы степеней корней алгебраического уравнения.

Пусть l ₁, l ₂,…, l_n – корни полинома (4.20).

Обозначим (k = 1, …, n).

Тогда для любого k £ n справедлива формула Ньютона [2]

.

Отсюда для k = 1,…, n получаем уравнения для нахождения коэффициентов характеристического полинома

(4.21)

Осталось только определить суммы S ₁, S ₂, …, S _n. Известно, что

– сумма диагональных элементов матрицы (след матрицы [3], tr A, или Sp A);

– сумма диагональных элементов матрицы А ², полученной возведением в квадрат матрицы А;

и так далее.

Таким образом, порядок действий следующий:

1) простым перемножением вычисляем степени данной матрицы А ², А ³, …, Аⁿ;

2) находим их следы – суммы диагональных элементов S ₁, S ₂, …, S_n;

3) по рекуррентным формулам (4.21) находим искомые коэффициенты p ₁, p ₂,…, p_n;

4) после получения характеристического полинома ищем его корни l ₁, l ₂, …, l_n одним из способов, которые будут рассмотрены в главе 5.