Линейные подпространства

Определение. Пусть V – линейное пространство, подмножество L множества V называется линейным подпространством пространства V, если оно образует линейное пространство относительно операций, определенных в V.

Замечание. Операции на подмножестве L индуцированы операциями на множестве V.

Примерами линейных подпространств любого пространства V могут служить так называемые «тривиальные» подпространства – {0} и V.

Теорема. Для того чтобы подмножество L линейного пространства V было линейным подпространством пространства V, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

1) "a,bÎL(a+bÎL);

2) "aÎR"aÎL(aaÎL).

Доказательство - самостоятельно

Доказанная теорема позволяет построить пример линейного подпространства.

Пусть V – n-мерное линейное пространство и a₁,a₂,…,a_n - произвольная система векторов этого пространства. Рассмотрим всевозможные линейные комбинации этих векторов, выбрав в качестве коэффициентов действительные числа.

M={b½b= Ù b _iÎR}

Очевидно, что MÌV и условия теоремы выполнены. Действительно

"b,cÎM имеем b+c= + = ÎM, аналогично

"lÎR"bÎM имеем lb=l()= ÎM, следовательно, на основании доказанной теоремы можем утверждать, что M – линейное подпространство линейного пространства V.

Такое подпространство называется линейным подпространством, натянутым на векторы a₁,a₂,…,a_n, или подпространством, порожденным системой векторов a₁,a₂,…,a_n, или линейной оболочкой данной системы векторов.

Здесь следует обратить внимание на несколько очевидных, но очень важных фактов. В частности, на то, что размерность любого подпространства не превосходит размерности самого пространства, а размерность линейной оболочки системы векторов не превосходит числа векторов этой системы.

За размерность линейного пространства {0} будем принимать 0.