Определение линейного пространства

ГЛАВА III. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА

Определение линейного пространства. Базис и размерность линейного пространства

Определение линейного пространства

Во второй главе рассматривалось n-мерное векторное пространство, как множество векторов - упорядоченных n-ок действительных чисел с операциями сложения и умножения на действительное число. Рассмотрим аксиоматическое определение линейного или векторного пространства.

Пусть дано произвольное множество V={a,b,c,..}, Р – числовое поле. Множество V называется линейным пространством, заданным над полем Р, если для его элементов выполняются следующие аксиомы:

I. "a,bÎV $!cÎV(c=a+b)

II. "a,bÎV(a+b=b+a)

III. "a,b,cÎV(a+(b+c)=(a+b)+c)

IV. $0ÎV"aÎV(a+0=a)

V. "aÎV$(-a)ÎV(a+(-a)=0)

VI. "aÎV"aÎP$!bÎV(b=aa)

VII. "aÎV"a,bÎP((a+b)a=aa+ba)

VIII. "a,bÎV"aÎP(a(a+b)=aa+ab)

IX. "aÎV"a,bÎP((ab)a=a(ba))

X. "aÎV(1a=a)

Элементы линейного пространства принято называть векторами.

Примеры: 1) n-мерное векторное пространство;

2) множество векторов - направленных отрезков, выходящих из начала координат на плоскости или в трехмерном пространстве;

3) множество действительных функций действительного переменного.

Везде далее будем в качестве поля Р рассматривать поле действительных чисел, но все полученные результаты легко обобщаются на случай произвольного поля.

Рассмотрим некоторые свойства линейных пространств и следствия из аксиом.

Следствие 1. Так как свойства I - V означают, что относительно операции сложения алгебра V образует абелевую группу, то выполняются все свойства абелевых групп, в частности справедливо свойство единственности нулевого и противоположного элементов и др.

Следствие 2. "aÎV"aÎR (aa=0Ûa=0Úa=0)

Доказательство. Необходимость. Пусть a=0, тогда aa=a(а+0)=aа+a0Þ a0=aа-aa=0, аналогично, если a=0, то aa=(a+0)а=aа+0а Þ 0а=aа-aa=0.

Достаточность. Пусть aa=0. Если a=0, то свойство выполняется. Если a¹0, тогда для него в поле действительных чисел существует обратное a^-1, получим а=1а=(a^-1a)а=a^-1 (aа)= a^-10=0.

Следствие 3. "aÎV"aÎR ((-a)a=a(-а)=- aа)

Доказательство

aа+a(-а)=a(а+ (-а))= a0=0Þa(-а)=-aа

Остальные соотношения проверить самостоятельно.

Следствие 4. "a, bÎV"aÎR(a(a-b)= aa-ab)

Доказательство

aa=a(b+(a- b))= ab+a(a- b)Û aa=ab+a(a- b) Ûa(a-b)= aa-ab

Следствие 5. "a,bÎR"aÎV((a-b)a=aa-ba).

Доказательство - самостоятельно.