Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Уравнение параболического типа иначе называют уравнением теплопроводности. Рассмотрим наиболее простой вид такого уравнения и сформулируем задачу:
Найти функцию , удовлетворяющую уравнению
(14) |
начальному условию
(15) |
и краевым условиям
(16) |
(задача о распространении тепла в однородном стержне длины s).
Введя новую переменную , уравнение (14) можно преобразовать к виду . В получившемся уравнении a =1, поэтому в дальнейшем будем полагать, что a =1.
В полуполосе построим параллельные прямые
Приближенно заменим в каждом внутреннем узле (xi,tj) производную разностным отношением:
(17) |
а производную одним из двух разностных отношений:
(18) | ||
(19) |
Тогда для уравнения (14) при а= 1 получаем два типа конечно-разностных уравнений:
Явная схема | (20) | |
Неявная схема | (21) |
Умножим обе части на l:
Обозначим и приведем подобные:
Явная схема | (22) | |
Неявная схема | (23) |
Так как , то при выборе числа σ следует учитывать два обстоятельства:
1) погрешность замены дифференциального уравнения разностным, должна быть наименьшей;
2) разностное уравнение должно быть устойчивым.
Уравнение (22) будет устойчивым, если , а уравнение (23) – при любом σ. Наиболее удобный вид уравнение (22) примет при :
(24) |
и при :
(25) |
Уравнение (25) дает более высокую точность решения по сравнению с уравнением (24). Но уравнение (24) имеет более простой вид. Кроме того, соотношение шагов h и l приводит к большему количеству вычислений, т.к. шаг l должен быть значительно меньше шага h.
Пример: Используя разностное уравнение (24) найти приближенное решение уравнения , удовлетворяющее условиям: , .
Решение:
По аргументу х выберем шаг h=0.1, т.к. уравнение (24) получено при , то по аргументу t получаем шаг . Составим таблицу и, пользуясь начальными и краевыми значениями, заполним часть таблицы:
j | x | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,4 | 0,5 | 0,6 | 0,7 | 0,8 | 0,9 | ||
t | ||||||||||||
0,951 | 0,809 | 0,588 | 0,309 | 0,000 | -0,309 | -0,588 | -0,809 | -0,951 | -1 | |||
0,005 | -1 | |||||||||||
0,01 | -1 | |||||||||||
0,015 | -1 | |||||||||||
0,02 | -1 | |||||||||||
0,025 | -1 | |||||||||||
0,03 | -1 | |||||||||||
0,035 | -1 | |||||||||||
0,04 | -1 | |||||||||||
0,045 | -1 |
Первый столбец заполняем согласно первому граничному условию: , а последний столбец – согласно второму граничному условию: . Первую строку таблицы заполняем, пользуясь начальным условием . Остальную часть таблицы – по формуле (24):
В итоге получим таблицу:
Дата публикования: 2015-01-23; Прочитано: 760 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!