Разложение функций в ряд Фурье по ортонормированной системе

Пусть – некоторая функция, определенная на отрезке . Предположим, что ее можно представить на этом отрезке в виде ряда:

, (2)

где , , …, , … – ортонормированная на отрезке система функций.

Найдем коэффициенты разложения , , …, , …. Для того, чтобы найти , умножим левую и правую части равенства (2) на и проинтегрируем по . При этом будем считать, что правую часть (2) можно интегрировать почленно. Имеем:

.

Таким образом, получили, что

. (3)

Коэффициенты (3) называют коэффициентами разложения функции относительно заданной ортонормированной системы или просто коэффициентами Фурье.

§ 3. Разложение функций в тригонометрический
ряд Фурье на отрезке

Определение. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд

,

членами которого являются синусы и косинусы от целых кратных значений аргумента .

Постоянные и называются коэффициентами ряда. Свободный член записываем так для единообразия последующих формул. В краткой записи имеем:

. (4)

Все слагаемые в (4) имеют период . Поэтому если ряд (4) сходится на отрезке , то он сходится на всей числовой оси и его сумма есть периодическая функция с периодом .

Пусть – какая-нибудь функция, заданная на отрезке , относительно которой мы предположим, что ее на этом отрезке можно разложить в сходящийся тригонометрический ряд, т.е. представить в виде (5):

. (5)

Будем считать, что ряд (5) можно почленно интегрировать, т.е. интеграл от будет равен сумме интегралов от каждого члена ряда. В этих предположениях найдем коэффициенты , .

1) : .

2) :

.

.

Окончательно имеем:

, , .

Определение. Коэффициенты , – называются коэффициентами Фурье функции , а ряд (5) – рядом Фурье.

Пример 1. Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке .

Решение.

;

;

.

Таким образом,

.

Пример 2. Разложить функцию в ряд Фурье на отрезке .

Решение.

;

.

.

Таким образом,

.

§ 4. Разложение функций в тригонометрический
ряд Фурье на отрезке

Теорема Дирихле. Пусть функция имеет на отрезке конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыва I-го рода (т.е. удовлетворяет так называемым условиям Дирихле). Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке отрезка и сумма этого ряда:

1) во всех точках непрерывности на отрезке ;

2) , где – точка разрыва I-го рода;

3) при .

Получим формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье функции, заданной на отрезке , удовлетворяющей условиям Дирихле.

Введем новую переменную , тогда .

Причем функция будет удовлетворять условиям Дирихле на отрезке , и значит, ее можно разложить на этом отрезке в сходящийся ряд Фурье.

Имеем:

;

;

.