Простейшие рациональные дроби

Определение 4. Корнем многочлена Р (х) называют всякое число α, обращающее многочлен в ноль, т. е. такое, что Р (α) = 0.

Т е о р е м а 3. Каждый многочлен Р (х) степени п может быть представлен в виде произведения

Р (х) = А (х – α₁)∙(х – α₂)∙…∙(х – α _п),

где А – коэффициент при старшей степени х многочлена Р (х), α₁, …, α _п – корни многочлена Р (х). Множители (х – α _i) называются элементарными множителями.

Определение 5. Корень α многочлена Р (х)для которого элементарный множитель (х – α) в разложении встречается k ₁ раз, называется корнем кратности k ₁. Корень кратности 1 называется простым.

Учитывая кратность корней α _i мы можем записать разложение Р (х) следующим образом:

,

где a, b, …, ℓ – корни Р (х) кратности k ₁, k ₂, …, k_s соответственно.

Т е о р е м а 4. Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в следующей форме:

Определение 6. Рациональной дробью называется функция, равная частному от деления двух многочленов

– многочлен степени m, – многочлен степени n.

Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя, в противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Т е о р е м а 5. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, т. е.

.