Частные случаи общего уравнения прямой

1) Если В = 0, то А∙х + С = 0 – уравнение прямой параллельной оси Оу и проходящей через точку .

2) Если В ¹ 0, А = 0, то В∙у + С = 0 – уравнение прямой параллельной оси Ох и проходящей через точку (см рис. справа).

3) Если С = 0, то А∙х + В∙у = 0 – уравнение прямой, проходящей через начало координат и через точку (В; – А) (см рис. справа).

4) Если А = 0 и С = 0, то прямая совпадает с осью Ох.

5) Если В = 0 и С = 0, то прямая совпадает с осью Оу.

3. Уравнение прямой проходящей через данную точку в данном направлении. Пусть прямая проходит через точку М ₀ (х ₀; у ₀) и ее направление характеризуется угловым коэффициентом k. Тогда уравнение прямой примет вид

(у – у ₀) = k ∙(x – x ₀), (2)

где х, у – координаты текущей точки, лежащей на прямой,

Примечание. Из этого уравнения нельзя определить прямую параллельную оси Оу.

4. Уравнение прямой проходящей через две точки. Пусть прямая проходит через точки М ₁ (х ₁; у ₁) и М ₂ (х ₂; у ₂). Тогда

– (3)

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Угловой коэффициент, для данного случая запишется в виде:

(4)

Частные случаи уравнения прямой проходящей через две точки.

Если х ₂ = х ₁, то прямая проходит параллельно оси Оу, а уравнение имеет вид х = х ₁.

Если у ₂ = у ₁, то прямая проходит параллельно оси Ох, а уравнение имеет вид у = у ₁.

5. Уравнение прямой в отрезках. Пусть прямая пересекает ось Ох в точке М ₁ (а; 0) и ось

Оу в точке М ₂ (0; b). В этом случае уравнение (3) примет вид

, – уравнение прямой в отрезках (5)

где а и b – отрезки, отсекаемые данной прямой от соответствующих осей координат.

6. Уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку М ₀ (х ₀; у ₀) перпендикулярно вектору имеет вид

А ∙(х – х ₀) + В ∙(у – у ₀) = 0, (6)

где х, у – координаты текущей точки лежащей на этой прямой.

Определение 4. Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором этой прямой.