у ¢¢ + р у ¢ + q y = f (x)
|
Правая часть f (x)
| Корни характеристического уравнения
k 2+ pk + q = 0
|
Вид частного
решения 
|
| 1. Рn (x)
| k 1, 2 ¹ 0
| Qn (x)
|
| k 1 = 0, k 2 ¹ 0
| xQn (x)
|
| k 1, 2 = 0
| x 2 Qn (x)
Qn (x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.
|
| 2. аe a x
| k 1, 2 ¹ a
| Ae a x
|
| k 1 = a, k 2 ¹ a
| Axe a x
|
| k 1, 2 = a
| Ax 2 e a x
|
| 3. e a xPn (x)
| k 1, 2 ¹ a
| e a xQn (x)
|
| k 1 = a, k 2 ¹ a
| xe a xQn (x)
|
| k 1, 2 = a
| x 2 e a xQn (x)
Qn (x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.
|
| 4. а∙ cos b x
а∙ sin b x
а∙ cos b x + b sin b x
| k 1, 2 ¹ ± i∙ b
| А cos b x + В sin b x
|
| k 1, 2 = ± i∙ b
| (А cos b x + В sin b x)∙ х,
А, В – неопределенные коэффициенты.
|
| 5. Pn (x) cos b x
Pn (x) sin b x
Pn (x) (cos b x + sin b x)
| k 1, 2 ¹ ± i∙ b
| Rn (x)cos b x + Sn (x)sin b x
|
| k 1, 2 = ± i∙ b
| x (Rn (x)cos b x + Sn (x)sin b x)
Qn (x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.
|
| 6. e a x cos b x
e a x sin b x
e a x (a cos b x + b sin b x)
| k 1, 2 ¹ a ± i∙ b
| e a x (А cos b x + В sin b x)
|
| k 1, 2 = a ± i∙ b
| e a x х (А cos b x + В sin b x)
А, В – неопределенные коэффициенты.
|
| 7. e a x Pn (x) cos b x
e a x Pn (x) sin b x
e a x Pn (x) (cos b x + sin b x)
| k 1, 2 ¹ a ± i∙ b
| e a x (Rn (x)cos b x + Sn (x)sin b x)
|
| k 1, 2 = a ± i∙ b
| xe a x (Rn (x)cos b x + Sn (x)sin b x)
Qn (x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.
|
| 8. e a x (Pn (x)∙cos b x +
+ Qm (x)∙sin b x)
| k 1, 2 ¹ a ± i∙ b
| e a x (Rd (x)∙cos b x + Sd (x)∙sin b x)
|
| k 1, 2 = a ± i∙ b
| xe a x (Rd (x)cos b x + Sd (x)sin b x)
Rd (x), Sd (x) – многочлены степени d = max (n, m) с неопределенными коэффициентами.
|
Сводная таблица по теме: «Дифференциальные уравнения»
| №
| Вид уравнения
| Способ решения
|
| Дифференциальные уравнения первого порядка
|
| 1.
| Уравнение с разделяющимися переменными
X 1(x) Y1(y) d y +
+ X 2(x)∙Y2(y) d y = 0.
|
а) X 1(x) Y1(y) d y = X 2(x)∙Y2(y) d y
б)  .
|
| y ¢ = f 1(x)∙ f 2(y).
| а)  ,
б) 
с) 
|
| 2.
| Однородное уравнение  .
| а) Вводится замена  , т. е. y = U∙x,
б) Получаем у ¢ = U¢ x + U.
в) подставляем в однородное уравнение: U¢ x = f (U) – U.
в)  .
г) Интегрируя найдем:
|
| 3.
| Линейное уравнение
у¢ + р (х) у = f (x)
| а) Введем замену: у (х) = U (x) ∙ V (x), тогда у ¢ = U ¢ (x) ∙ V (x) + U (x) ∙ V ¢ (x).
б) Получаем: U ¢∙ V + U ∙(V ¢ + p (x)∙ V) = g (x).
в) 
|
| Дифференциальные уравнения второго порядка
|
| 4.
| Допускающие понижение порядка:
1. у ¢¢ = f (x) не содержит явно у и у ¢.
| а) Вводим замену у ¢ = р (х), у ¢¢ = р ¢(х).
б) 
в) 
|
| 2. у ¢¢ = f (x, y ¢) не содержит явно у.
| а) Полагая у ¢ = р (х), у ¢¢ = р ¢(х), т. е.
р ¢ = f (x, p)
б) р (х) = φ (х, С 1).
в) Интегрируем и получим
|
| 3. у ¢¢ = f (y, y ¢) не содержащим явно х
| а)Полагая у ¢ = р (у (х)). Тогда 
б) Подставляя в уравнение получим
р× р ¢ = f (y, p).
в) Решая его, найдем р = φ (у, С 1), отсюда  .
г) 
|
| 5.
| Линейное однородное уравнение
у ¢¢ + р у¢ + q y = 0
| Составляем характеристическое уравнение: k 2 + p k + q = 0.
Если k 1 ¹ k 2 , то 
Если k 1 = k 2, то 
Если  , то
|
| 6.
| Линейное неоднородное уравнение
у ¢¢ + р у¢ + q y = f (x).
| 1. Решаем соответствующее однородное уравнение у ¢¢ + р у¢ + q y = 0
2. По виду правой части уравнения записывается форма частного решения с неопределенными коэффициентами.
3. Таким образом сформированное частное решение подставляется в дифференциальное уравнение.
4. Из полученного тождества определяются значения коэффициентов.
5. 
|
