Дифференциальные уравнения однородные относительно переменных

Определение 13. Функция f (x, y) называется однородной функцией п – го измерения относительно переменных х и у, если при любом k справедливо тождество: f (kx, ky) = k ⁿ f (x, y).

Замечание. Уравнение

М (х, у) d y + N (x,y) d x = 0

будет однородным в случае, если М (х, у), N (x, y) - однородные функции одного и того же измерения.

Определение 14. Функция f (x, y) называется однородной функцией нулевого измерения, если при умножении аргументов х и у на произвольный параметр k значение функции не измениться: f (k_x, k_y)= f (x,y).

Определение 15. Уравнением однородным, относительно переменных называется уравнение вида:

При решении однородного уравнения вводится замена

, т. е. y = U∙x,

тогда у ¢ = U¢ x + U, подставляя это выражение для у ¢ в однородное уравнение, получим:

U¢ x + U = f (U)

или U¢ x = f (U) – U - -это уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя найдем:

Подставляя после интегрирования вместо U отношение , получим интеграл однородного уравнения.

К однородным уравнениям приводятся уравнения вида

Это достигается линейной заменой x = x ₀ + t, y = y ₀ + z, где х ₀, у ₀ - координаты точки пересечения прямых а ₁ х + b ₁ y + c ₁ = 0 и a ₂ x + b ₂ y + c ₂ = 0. Если же указанные прямые не пересекаются, то в этом случае и уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены а ₁ х + b ₁ y + c ₁= z.